Apêndice

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Einfache Ableitung der Lorentz-Transformation (Ergänzung zu § 11).

Dedução simples da transformação de Lorentz (complemento ao § 11)

Bei der in Fig. 2 angedeuteten relativen Orientierung der Koordinatensysteme fallen die X-Achsen beider Systeme dauernd zusammen. Wir können hier das Problem teilen, indem wir zunächst nur Ereignisse betrachten, die auf der X-Achse lokalisiert sind. Ein solches Ereignis ist bezüglich des Koordinatensystems K durch die Abszisse x und die Zeit t, bezüglich K′ durch die Abszisse x′ und die Zeit t′ gegeben. Gesucht sind x′ und t′, wenn x und t gegeben sind.

Na orientação relativa dos sistemas de coordenadas indicada na Fig. 2, os eixos X dos dois sistemas coincidem permanentemente. Podemos aqui dividir o problema, considerando primeiro só acontecimentos localizados no eixo X. Um acontecimento desses é dado, em relação ao sistema de coordenadas K, pela x e pelo tempo t; em relação a K′, pela x′ e pelo tempo t′. Procuram-se x′ e t′ quando são dados x e t.

Ein Lichtsignal, welches längs der positiven X-Achse vorschreitet, pflanzt sich nach der Gleichung

Um sinal luminoso que avança ao longo do eixo X positivo se propaga segundo a equação

x = ct

oder

x − ct = 0 . . . (1)

fort. Da dasselbe Lichtsignal sich auch relativ zu K′ mit der Geschwindigkeit c fortpflanzen soll, so wird die Fortpflanzung relativ zu K′ durch die analoge Formel

Como o mesmo sinal luminoso deve propagar-se também em relação a K′ com a velocidade c, a propagação em relação a K′ é descrita pela fórmula análoga

x′ − ct′ = 0 . . . (2)

beschrieben. Diejenigen Raum-Zeit-Punkte (Ereignisse), welche (1) erfüllen, müssen auch (2) erfüllen. Dies wird offenbar der Fall sein, wenn allgemein die Beziehung

Os pontos do espaço-tempo (acontecimentos) que satisfazem (1) têm de satisfazer também (2). Isso evidentemente acontecerá se valer em geral a relação

(x′ − ct′) = λ(x − ct) . . . (3)

erfüllt ist, wobei λ eine Konstante bedeutet; denn gemäß (3) bedingt das Verschwinden von x − ct das Verschwinden von x′ − ct′.

onde λ significa uma constante; pois, segundo (3), anular-se x − ct acarreta anular-se x′ − ct′.

Eine ganz analoge Betrachtung, angewandt auf längs der negativen X-Achse sich fortpflanzende Lichtstrahlen, liefert die Bedingung:

Uma consideração inteiramente análoga, aplicada aos raios de luz que se propagam ao longo do eixo X negativo, dá a condição:

x′ + ct′ = μ(x + ct) . . . (4)

Addiert bzw. subtrahiert man die Gleichungen (3) und (4), wobei man statt der Konstanten λ und μ bequemlichkeitshalber die Konstanten

Somando e subtraindo as equações (3) e (4), introduzindo por comodidade, em lugar das constantes λ e μ, as constantes

a = (λ + μ)/2
b = (λ − μ)/2

einführt, so erhält man

obtém-se

x′ = ax − bct
ct′ = act − bx . . . (5)

Damit wäre unsere Aufgabe gelöst, wenn die Konstanten a und b bekannt wären; diese ergeben sich durch die folgenden Überlegungen.

Com isso o nosso problema estaria resolvido, se as constantes a e b fossem conhecidas; elas resultam das reflexões seguintes.

Für den Anfangspunkt von K′ ist dauernd x′ = 0, also nach der ersten der Gleichungen (5):

Para a origem de K′ tem-se sempre x′ = 0, e portanto, pela primeira das equações (5):

x = (bc/a) t.

Nennen wir v die Geschwindigkeit, mit welcher der Anfangspunkt von K′ relativ zu K bewegt ist, so ist also

Se chamarmos v a velocidade com que a origem de K′ se move em relação a K, tem-se, portanto,

v = bc/a . . . (6)

Den gleichen Wert v erhält man aus (5), wenn man die Geschwindigkeit eines anderen Punktes von K′ relativ zu K oder die (nach der negativen X-Achse gerichtete) Geschwindigkeit eines Punktes von K gegenüber K′ berechnet. Man kann also v kurz als die Relativgeschwindigkeit beider Systeme bezeichnen.

O mesmo valor v se obtém de (5) calculando-se a velocidade de outro ponto qualquer de K′ em relação a K, ou a velocidade (dirigida para o eixo X negativo) de um ponto de K em relação a K′. Pode-se, portanto, chamar v, em poucas palavras, a velocidade relativa dos dois sistemas.

Ferner ist nach dem Relativitätsprinzip klar, daß die von K aus beurteilte Länge eines relativ K′ ruhenden Einheitsmaßstabes genau dieselbe sein muß, wie die von K′ aus beurteilte Länge eines relativ zu K ruhenden Einheitsmaßstabes. Um zu sehen, wie die Punkte der X′-Achse von K aus betrachtet aussehen, brauchen wir nur eine „Momentaufnahme“ von K′ von K aus aufzunehmen; dieses bedeutet, daß wir für t (Zeit von K) einen bestimmten Wert, z. B. t = 0, einzusetzen haben. Für diesen erhält man aus der ersten der Gleichungen (5):

Além disso, pelo princípio da relatividade, é claro que o comprimento de uma régua unitária em repouso em relação a K′, julgado a partir de K, tem de ser exatamente o mesmo que o comprimento de uma régua unitária em repouso em relação a K, julgado a partir de K′. Para ver como são, vistos de K, os pontos do eixo X′, basta tirar de K um “instantâneo” de K′; isso significa que temos de pôr para t (o tempo de K) um valor determinado, por exemplo t = 0. Para esse valor, obtém-se da primeira das equações (5):

x′ = ax.

Zwei Punkte der X′-Achse, welche, in K′ gemessen, den Abstand x′ = 1 haben, haben also auf unserer Momentphotographie den Abstand:

Dois pontos do eixo X′ que, medidos em K′, têm a distância x′ = 1 têm, portanto, no nosso instantâneo, a distância:

Δx = 1/a . . . (7)

Bildet man aber die Momentphotographie von K′ aus (t′ = 0), so erhält man aus (5) durch Eliminieren von t mit Rücksicht auf (6):

Mas, se se tira o instantâneo a partir de K′ (t′ = 0), obtém-se de (5), eliminando t e levando em conta (6):

x′ = a(1 − v²/c²) x.

Hieraus schließt man, daß zwei Punkte der X-Achse vom Abstand 1 (relativ zu K) auf unserer Momentphotographie den Abstand

Daqui se conclui que dois pontos do eixo X à distância 1 (em relação a K) ficam, no nosso instantâneo, à distância

Δx′ = a(1 − v²/c²) . . . (7a)

haben.

um do outro.

Da nach dem Gesagten die beiden Momentphotographien gleich sein müssen, muß Δx in (7) gleich sein Δx′ in (7a), so daß man erhält:

Como, pelo que se disse, os dois instantâneos têm de ser iguais, Δx em (7) tem de ser igual a Δx′ em (7a), de modo que se obtém:

a² = 1 / (1 − v²/c²) . . . (7b)

Die Gleichungen (6) und (7b) bestimmen die Konstanten a und b. Durch Einsetzen in (5) erhält man die erste und vierte der in § 11 angegebenen Gleichungen.

As equações (6) e (7b) determinam as constantes a e b. Substituindo-as em (5), obtém-se a primeira e a quarta das equações dadas no § 11.

x′ = (x − vt) / √(1 − v²/c²)
t′ = (t − (v/c²) x) / √(1 − v²/c²) . . . (8)

Damit ist die Lorentz-Transformation für Ereignisse auf der X-Achse gewonnen. Sie genügt der Bedingung

Com isso se obtém a transformação de Lorentz para acontecimentos no eixo X. Ela satisfaz a condição

x′² − c²t′² = x² − c²t² . . . (8a)

Die Erweiterung dieses Resultates auf Ereignisse, die außerhalb der X-Achse stattfinden, ergeben sich, indem man die Gleichungen (8) beibehält und die Beziehungen

A extensão desse resultado a acontecimentos que se dão fora do eixo X se obtém mantendo as equações (8) e acrescentando as relações

y′ = y
z′ = z . . . (9)

hinzufügt. Daß man so dem Postulat von der Konstanz der Vakuum-Lichtgeschwindigkeit für beliebig gerichtete Lichtstrahlen sowohl für das System K als auch für das System K′ genügt, erkennt man auf folgende Weise.

Que assim se satisfaz o postulado da constância da velocidade da luz no vácuo para raios de luz de direção qualquer, tanto para o sistema K como para o sistema K′, percebe-se da seguinte maneira.

Zur Zeit t = 0 werde vom Anfangspunkt von K ein Lichtsignal ausgesandt. Seine Ausbreitung geschieht nach der Gleichung:

No tempo t = 0, envie-se da origem de K um sinal luminoso. A sua propagação se dá segundo a equação:

r = √(x² + y² + z²) = ct,

oder, wie man durch Quadrieren dieser Gleichung findet, nach der Gleichung

ou, como se acha elevando ao quadrado essa equação, segundo a equação

x² + y² + z² − c²t² = 0 . . . (10)

Das Gesetz von der Lichtausbreitung in Verbindung mit dem Relativitätspostulat verlangt, daß die Ausbreitung des nämlichen Signals — von K′ aus beurteilt — nach der entsprechenden Formel

A lei da propagação da luz, junto com o postulado da relatividade, exige que a propagação do mesmo sinal, julgada a partir de K′, se dê segundo a fórmula correspondente

r′ = ct′

oder

x′² + y′² + z′² − c²t′² = 0 . . . (10a)

erfolge. Damit die Gleichung (10a) eine Folge der Gleichung (10) sei, muß sein:

Para que a equação (10a) seja consequência da equação (10), é preciso que se tenha:

x′² + y′² + z′² − c²t′² = σ(x² + y² + z² − c²t²) . . . (11)

Da für Punkte auf der X-Achse die Gleichung (8a) gelten muß, muß σ = 1 sein. Daß die Lorentz-Transformation der Gleichung (11) mit σ = 1 wirklich genügt, erkennt man leicht; (11) ist nämlich eine Folge von (8a) und (9), also auch von (8) und (9). Damit ist die Lorentz-Transformation abgeleitet.

Como para os pontos do eixo X tem de valer a equação (8a), deve ser σ = 1. Que a transformação de Lorentz satisfaz de fato a equação (11) com σ = 1, vê-se com facilidade; (11), com efeito, é consequência de (8a) e de (9), e portanto também de (8) e de (9). Com isso está deduzida a transformação de Lorentz.

Die durch (8) und (9) dargestellte Lorentz-Transformation bedarf noch der Verallgemeinerung. Es ist offenbar unwesentlich, daß die Achsen von K′ denen von K räumlich parallel gewählt werden. Es ist auch unwesentlich, daß die Translationsgeschwindigkeit von K′ gegenüber K die Richtung der X-Achse hat. Man kann die Lorentz-Transformation in diesem allgemeinen Sinne — wie eine einfache Überlegung ergibt — zusammensetzen aus zweierlei Transformationen, nämlich aus Lorentz-Transformationen im speziellen Sinne und aus rein räumlichen Transformationen, welche der Ersetzung des rechtwinkligen Koordinatensystems durch ein neues mit anders gerichteten Achsen entspricht.

A transformação de Lorentz representada por (8) e (9) precisa ainda de generalização. É evidentemente sem importância que os eixos de K′ sejam escolhidos paralelos no espaço aos de K. Também é sem importância que a velocidade de translação de K′ em relação a K tenha a direção do eixo X. A transformação de Lorentz nesse sentido geral pode ser composta — como mostra uma reflexão simples — de dois tipos de transformações, a saber, de transformações de Lorentz no sentido especial e de transformações puramente espaciais, que correspondem à substituição do sistema de coordenadas retangulares por um novo, de eixos com outra direção.

Mathematisch läßt sich die verallgemeinerte Lorentz-Transformation so charakterisieren:

Matematicamente, a transformação de Lorentz generalizada pode ser caracterizada assim:

Sie drückt x′, y′, z′, t′ durch derartige lineare homogene Funktionen von x, y, z, t aus, daß die Relation

ela exprime x′, y′, z′, t′ por funções lineares homogêneas de x, y, z, t tais que a relação

x′² + y′² + z′² − c²t′² = x² + y² + z² − c²t² . . . (11a)

identisch erfüllt wird. Dies will sagen: Setzt man links statt x′ usw. ihre Ausdrücke in x, y, z, t ein, so stimmt die linke Seite von (11a) mit der rechten überein.

se satisfaça identicamente. Isso quer dizer: se se substituem à esquerda x′ etc. pelas suas expressões em x, y, z, t, o lado esquerdo de (11a) coincide com o direito.

Minkowskis vierdimensionale Welt (Ergänzung zu § 17).

O mundo quadridimensional de Minkowski (complemento ao § 17)

Die verallgemeinerte Lorentz-Transformation läßt sich noch einfacher charakterisieren, wenn man statt t als Zeitvariable die imaginäre √−1 · ct einführt. Setzt man demgemäß

A transformação de Lorentz generalizada pode ser caracterizada de modo ainda mais simples se, em lugar de t, se introduz como variável de tempo a grandeza imaginária √−1 · ct. Se se põe, de acordo com isso,

x₁ = x
x₂ = y
x₃ = z
x₄ = √−1 · ct

und analog für das gestrichene System K′, so lautet die Bedingung, welche von der Transformation identisch erfüllt wird:

e do mesmo modo para o sistema com apóstrofo K′, a condição que a transformação satisfaz identicamente se escreve:

x₁′² + x₂′² + x₃′² + x₄′² = x₁² + x₂² + x₃² + x₄² . . . (12)

In diese Gleichung geht nämlich (11a) bei der angegebenen Wahl der „Koordinaten“ über.

Com efeito, (11a) se transforma nessa equação com a escolha das “coordenadas” indicada.

Man sieht aus (12), daß die imaginäre Zeitkoordinate x₄ in die Transformationsbedingung genau gleich eingeht wie die räumlichen Koordinaten x₁, x₂, x₃. Hierauf beruht es, daß in die Naturgesetze nach der Relativitätstheorie die „Zeit“ x₄ in derselben Form eingeht wie die räumlichen Koordinaten x₁, x₂, x₃.

Vê-se de (12) que a coordenada de tempo imaginária x₄ entra na condição de transformação exatamente do mesmo modo que as coordenadas espaciais x₁, x₂, x₃. É nisso que se funda o fato de que, segundo a teoria da relatividade, o “tempo” x₄ entra nas leis da natureza da mesma forma que as coordenadas espaciais x₁, x₂, x₃.

Das durch die „Koordinaten“ x₁, x₂, x₃, x₄ beschriebene vierdimensionale Kontinuum hat Minkowski „Welt“ genannt, das Punktereignis „Weltpunkt“. Die Physik wird aus einem Geschehen im dreidimensionalen Raum gewissermaßen ein Sein in der vierdimensionalen „Welt“.

Ao contínuo de quatro dimensões descrito pelas “coordenadas” x₁, x₂, x₃, x₄ Minkowski chamou “mundo”, e ao acontecimento pontual, “ponto do mundo”. A física passa de certo modo de um acontecer no espaço tridimensional a um ser no “mundo” quadridimensional.

Diese vierdimensionale „Welt“ hat eine tiefgehende Ähnlichkeit mit dem dreidimensionalen „Raum“ der (euklidischen) analytischen Geometrie. Führt man nämlich in letzterer ein neues kartesisches Koordinatensystem (x₁′, x₂′, x₃′) ein mit demselben Anfangspunkte, so sind x₁′, x₂′, x₃′ lineare homogene Funktionen von x₁, x₂, x₃, welche die Gleichung

Esse “mundo” quadridimensional tem profunda semelhança com o “espaço” tridimensional da geometria analítica (euclidiana). Se, com efeito, se introduz nesta um novo sistema de coordenadas cartesiano (x₁′, x₂′, x₃′) com a mesma origem, x₁′, x₂′, x₃′ são funções lineares homogêneas de x₁, x₂, x₃ que satisfazem identicamente a equação

x₁′² + x₂′² + x₃′² = x₁² + x₂² + x₃²

identisch erfüllen. Die Analogie mit (12) ist eine vollständige. Man kann die Minkowskische Welt formal als einen vierdimensionalen euklidischen Raum (mit imaginärer Zeitkoordinate) ansehen; die Lorentz-Transformation entspricht einer „Drehung“ des Koordinatensystems in der vierdimensionalen „Welt“.

A analogia com (12) é completa. Pode-se considerar formalmente o mundo de Minkowski como um espaço euclidiano de quatro dimensões (com coordenada de tempo imaginária); a transformação de Lorentz corresponde a uma “rotação” do sistema de coordenadas no “mundo” quadridimensional.

Fim

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