Parte III
§ 32. Die Struktur des Raumes nach der allgemeinen Relativitätstheorie.
32. A estrutura do espaço segundo a teoria da relatividade geral
Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie sind die geometrischen Eigenschaften des Raumes nicht selbständig, sondern durch die Materie bedingt. Man kann daher über die geometrische Struktur der Welt nur etwas schließen, wenn man den Zustand der Materie als bekannt der Betrachtung zugrunde legt. Wir wissen aus der Erfahrung, daß bei passend gewähltem Koordinatensystem die Geschwindigkeiten der Sterne klein sind gegenüber der Geschwindigkeit der Lichtausbreitung. Wir können deshalb die Beschaffenheit der Welt im großen in rohester Annäherung erfahren, indem wir die Materie als ruhend behandeln.
Segundo a teoria da relatividade geral, as propriedades geométricas do espaço não são independentes, mas condicionadas pela matéria. Por isso só se pode concluir alguma coisa sobre a estrutura geométrica do universo se se toma por base da consideração o estado da matéria como conhecido. Sabemos pela experiência que, com um sistema de coordenadas bem escolhido, as velocidades das estrelas são pequenas em comparação com a velocidade de propagação da luz. Podemos, portanto, conhecer a constituição do universo em grande escala, numa primeira e grosseira aproximação, tratando a matéria como em repouso.
Wir wissen bereits aus früheren Überlegungen, daß das Verhalten der Maßstäbe und Uhren durch die Gravitationsfelder, d. h. durch die Verteilung der Materie beeinflußt wird. Hieraus folgt schon, daß von einer exakten Gültigkeit der euklidischen Geometrie in unserer Welt keine Rede sein kann. Aber es ist an sich denkbar, daß unsere Welt von einer euklidischen wenig abweicht, diese Auffassung liegt um so näher, als die Rechnung ergibt, daß selbst Massen von der Größe unserer Sonne die Metrik des umgebenden Raumes nur ganz minimal beeinflussen. Man könnte sich vorstellen, daß sich unsere Welt in geometrischer Hinsicht analog verhält einer im einzelnen unregelmäßig gekrümmten Fläche, die aber nirgends bedeutend von einer Ebene abweicht, wie etwa die durch schwache Wellen gekräuselte Oberfläche eines Sees. Eine derartige Welt könnten wir passend eine quasi-euklidische nennen. Sie wäre räumlich unendlich. Die Rechnung ergibt aber, daß in einer quasi-euklidischen Welt die mittlere Dichte der Materie null sein müßte. Eine solche Welt könnte also nicht überall mit Materie bevölkert sein; sie böte das unbefriedigende Bild, das wir im § 30 entworfen haben.
Já sabemos por reflexões anteriores que o comportamento das réguas e dos relógios é influenciado pelos campos gravitacionais, isto é, pela distribuição da matéria. Daqui já se segue que não se pode falar de validade exata da geometria euclidiana no nosso universo. Mas é em si concebível que o nosso universo se afaste pouco de um universo euclidiano, e essa concepção se impõe tanto mais quanto o cálculo mostra que mesmo massas do tamanho do nosso Sol só influem de modo mínimo na métrica do espaço à sua volta. Seria possível imaginar que o nosso universo se comporta, do ponto de vista geométrico, de modo análogo a uma superfície curvada irregularmente nos pormenores, mas que em nenhum lugar se afasta muito de um plano, como, por exemplo, a superfície de um lago encrespada por ondas fracas. Um universo assim poderíamos chamar, com propriedade, quase euclidiano. Ele seria infinito no espaço. Mas o cálculo mostra que num universo quase euclidiano a densidade média da matéria teria de ser zero. Um universo assim, portanto, não poderia estar povoado de matéria em toda parte; ofereceria o quadro insatisfatório que traçamos no § 30.
Soll es aber in der Welt eine wenn auch noch so wenig von null abweichende mittlere Dichte der Materie haben, so ist die Welt nicht quasi-euklidisch. Die Rechnung ergibt vielmehr, daß sie bei gleichmäßig verteilter Materie notwendig sphärisch (bzw. elliptisch) sein müßte. Da die Materie in Wahrheit im einzelnen ungleichmäßig verteilt ist, wird die wirkliche Welt vom sphärischen Verhalten im einzelnen abweichen, sie wird quasi-sphärisch sein. Aber sie wird notwendig endlich sein müssen. Die Theorie liefert sogar einen einfachen Zusammenhang[1] zwischen der räumlichen Ausdehnung der Welt und der mittleren Dichte der Materie in derselben.
Mas, se houver no universo uma densidade média da matéria diferente de zero, por pouco que seja, o universo não é quase euclidiano. O cálculo mostra, ao contrário, que com a matéria distribuída de modo uniforme ele teria necessariamente de ser esférico (ou elíptico). Como na realidade a matéria está distribuída de modo desigual nos pormenores, o universo real se afastará nos pormenores do comportamento esférico; será quase esférico. Mas terá necessariamente de ser finito. A teoria dá até uma relação simples[1] entre a extensão espacial do universo e a densidade média da matéria nele.
Nota do autor
[1] Für den „Radius“ R der Welt ergibt sich nämlich die Gleichung R² = 2/(κρ). Bei Verwendung des C.-G.-S.-Systems ist hierbei 2/κ = 1,08 · 10²⁷; ρ ist die mittlere Dichte der Materie.
Nota do autor
[1] Para o “raio” R do universo resulta, com efeito, a equação R² = 2/(κρ). Usando o sistema C.G.S., tem-se aqui 2/κ = 1,08 · 10²⁷; ρ é a densidade média da matéria.