Parte II
§ 23. Verhalten von Uhren und Maßstäben auf einem rotierenden Bezugskörper.
23. O comportamento de relógios e réguas num corpo de referência em rotação
Ich habe bis jetzt absichtlich nicht gesprochen über die physikalische Interpretation von räumlichen und zeitlichen Angaben in dem Falle der allgemeinen Relativitätstheorie. Dadurch habe ich mich einer gewissen Unsauberkeit schuldig gemacht, von der wir aus der speziellen Relativitätstheorie wissen, daß sie keineswegs unwichtig und verzeihlich ist. Nun ist es hohe Zeit, daß wir diese Lücke ausfüllen; ich bemerke aber im voraus, daß diese Angelegenheit an die Geduld und das Abstraktionsvermögen des Lesers keine geringen Anforderungen stellt.
Até aqui evitei de propósito falar da interpretação física das indicações de espaço e de tempo no caso da teoria da relatividade geral. Com isso me tornei culpado de certo desleixo que, como sabemos pela teoria da relatividade especial, não é nada sem importância nem desculpável. Agora já é mais que tempo de preencher essa lacuna; mas aviso de antemão que esse assunto exige não pouco da paciência e da capacidade de abstração do leitor.
Wir gehen wieder von oft herangezogenen, ganz speziellen Fällen aus. Es liege ein raum-zeitliches Gebiet vor, in welchem relativ zu einem Bezugskörper K von passend gewähltem Bewegungszustande kein Gravitationsfeld existiere; in bezug auf das ins Auge gefaßte Gebiet ist dann K ein Galileischer Bezugskörper, und es gelten relativ zu K die Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie. Dasselbe Gebiet denken wir uns auf einen zweiten Bezugskörper K′ bezogen, welcher relativ zu K gleichförmig rotiert. Um die Vorstellung zu fixieren, denken wir uns K′ in Gestalt einer ebenen Kreisscheibe, welche um ihren Mittelpunkt in ihrer Ebene gleichmäßig rotiere. Ein exzentrisch auf der Kreisscheibe K′ sitzender Beobachter empfindet eine Kraft, die in radialer Richtung nach außen wirkt, und welche von einem relativ zum ursprünglichen Bezugskörper K ruhenden Beobachter als Trägheitswirkung (Zentrifugalkraft) gedeutet wird. Der auf der Scheibe sitzende Beobachter möge jedoch seine Scheibe als „ruhenden“ Bezugskörper auffassen; dazu ist er auf Grund des allgemeinen Relativitätsprinzips berechtigt. Die auf ihn und überhaupt auf relativ zur Scheibe ruhende Körper wirkende Kraft faßt er als Wirkung eines Gravitationsfeldes auf. Allerdings ist die räumliche Verteilung dieses Schwerefeldes eine solche, wie sie nach Newtons Theorie der Gravitation nicht möglich wäre[1]. Aber da der Beobachter an die allgemeine Relativität glaubt, stört ihn dies nicht; er hofft mit Recht, daß ein allgemeines Gravitationsgesetz sich aufstellen lasse, welches nicht nur die Bewegung der Gestirne, sondern auch das von ihm wahrgenommene Kraftfeld richtig erklärt.
Partimos de novo de casos muito especiais, a que já recorremos muitas vezes. Suponhamos uma região do espaço-tempo em que, em relação a um corpo de referência K de estado de movimento escolhido de modo adequado, não exista campo gravitacional; em relação à região considerada, K é então um corpo de referência galileano, e em relação a K valem os resultados da teoria da relatividade especial. Imaginemos a mesma região referida a um segundo corpo de referência K′, que gira com velocidade uniforme em relação a K. Para fixar as ideias, imaginemos K′ na forma de um disco circular plano, que gire uniformemente no seu plano em torno do seu centro. Um observador sentado fora do centro, no disco K′, sente uma força que atua na direção do raio, para fora, e que um observador em repouso em relação ao corpo de referência original K interpreta como efeito da inércia (força centrífuga). Mas o observador sentado no disco pode considerar o seu disco como corpo de referência “em repouso”; o princípio da relatividade geral lhe dá esse direito. A força que atua sobre ele, e em geral sobre os corpos em repouso em relação ao disco, ele a entende como efeito de um campo gravitacional. É verdade que a distribuição espacial desse campo de gravidade é tal que não seria possível segundo a teoria da gravitação de Newton[1]. Mas, como o observador acredita na relatividade geral, isso não o perturba; espera com razão que se possa formular uma lei geral da gravitação que explique corretamente não só o movimento dos astros, mas também o campo de força que ele percebe.
Dieser Beobachter experimentiert auf seiner Kreisscheibe mit Uhren und Maßstäben, in der Absicht, auf Grund seiner Beobachtungen exakte Definitionen für die Bedeutung zeitlicher und räumlicher Angaben in bezug auf die Kreisscheibe K′ zu erhalten. Was wird er dabei für Erfahrungen machen?
Esse observador faz experimentos no seu disco com relógios e réguas, com a intenção de obter, a partir das suas observações, definições exatas para o significado das indicações de tempo e de espaço em relação ao disco K′. Que experiências fará?
Der Beobachter stelle zunächst von zwei gleich beschaffenen Uhren die eine in dem Mittelpunkte der Kreisscheibe, die andere an der Peripherie derselben auf, so daß sie relativ zur Kreisscheibe ruhen. Wir fragen uns zunächst, ob diese beiden Uhren gleich schnell gehen vom Standpunkt des nicht rotierenden Galileischen Bezugskörpers K. Von diesem aus beurteilt, hat die Uhr im Mittelpunkt keine Geschwindigkeit, während die Uhr an der Peripherie infolge der Rotation relativ zu K in Bewegung ist. Nach einem Ergebnis des § 12 geht deshalb die letztere Uhr von K aus beurteilt dauernd langsamer als die Uhr in der Mitte der Kreisscheibe. Dasselbe müßte offenbar auch der Mann auf der Kreisscheibe konstatieren, den wir uns etwa als in der Mitte der Kreisscheibe neben der dortigen Uhr sitzend vorstellen wollen. Auf unserer Kreisscheibe und allgemeiner in jedem Gravitationsfelde wird also eine Uhr rascher oder langsamer laufen, je nach der Stelle, in welcher die Uhr (ruhend) angeordnet ist. Eine vernünftige Definition der Zeit mit Hilfe von relativ zum Bezugskörper ruhend angeordneten Uhren ist also nicht möglich. Eine ähnliche Schwierigkeit zeigt sich, wenn man versucht, unsere frühere Definition der Gleichzeitigkeit hier anzuwenden, worauf ich nicht weiter eingehen will.
O observador coloca primeiro, de dois relógios de construção igual, um no centro do disco e o outro na periferia, de modo que fiquem em repouso em relação ao disco. Perguntamo-nos primeiro se esses dois relógios andam com a mesma rapidez do ponto de vista do corpo de referência galileano K, que não gira. Julgado a partir dele, o relógio do centro não tem velocidade, ao passo que o relógio da periferia, por causa da rotação, está em movimento em relação a K. Por um resultado do § 12, este último relógio, julgado a partir de K, anda por isso sempre mais devagar que o relógio do centro do disco. O mesmo deveria evidentemente constatar também o homem no disco, que podemos imaginar sentado, por exemplo, no centro do disco, junto do relógio que ali está. No nosso disco e, mais em geral, em todo campo gravitacional, um relógio andará, portanto, mais depressa ou mais devagar conforme o lugar em que estiver colocado (em repouso). Não é possível, portanto, uma definição razoável do tempo com o auxílio de relógios colocados em repouso em relação ao corpo de referência. Uma dificuldade semelhante aparece quando se tenta aplicar aqui a nossa definição anterior de simultaneidade, assunto em que não quero me deter.
Aber auch die Definition der räumlichen Koordinaten macht hier zunächst unüberwindliche Schwierigkeiten. Legt nämlich der mit der Scheibe bewegte Beobachter seinen Einheitsmaßstab (ein relativ zum Scheibenradius kleines Stäbchen) an der Scheibenperipherie tangential zu dieser an, so ist derselbe, vom Galileischen System aus beurteilt, kürzer als 1, weil bewegte Körper nach § 12 in Richtung der Bewegung eine Verkürzung erfahren. Legt er dagegen seinen Maßstab in die Richtung des Scheibenradius, so erfährt er, von K aus beurteilt, keine Verkürzung. Mißt der Beobachter also zuerst den Scheibenumfang, dann den Scheibendurchmesser mit seinem Maßstab und dividiert er hierauf diese beiden Meßergebnisse, so findet er als Quotienten nicht die bekannte Zahl π = 3,14..., sondern eine größere Zahl[2], während sich auf einer relativ zu K ruhenden Scheibe bei dieser Operation natürlich exakt π ergeben müßte. Damit ist bereits bewiesen, daß die Sätze der Euklidischen Geometrie auf der rotierenden Scheibe und damit überhaupt in einem Gravitationsfelde nicht genau gelten können, wenigstens wenn man dem Stäbchen überall und in jeder Orientierung die Länge 1 zuschreibt. Auch der Begriff der geraden Linie verliert damit seine Bedeutung. Wir sind deshalb nicht in der Lage, relativ zur Scheibe die Koordinaten x, y, z nach der in der speziellen Relativität benutzten Methode exakt zu definieren. Solange jedoch Koordinaten und Zeiten der Ereignisse nicht definiert sind, haben auch Naturgesetze, in welchen diese vorkommen, keine exakte Bedeutung.
Mas também a definição das coordenadas espaciais traz aqui, de início, dificuldades insuperáveis. Se, com efeito, o observador que se move com o disco aplica a sua régua unitária (uma varinha pequena em comparação com o raio do disco) na periferia do disco, tangente a ela, a régua, julgada a partir do sistema galileano, é mais curta que 1, porque os corpos em movimento, segundo o § 12, sofrem um encurtamento na direção do movimento. Se, ao contrário, ele põe a régua na direção do raio do disco, ela não sofre, julgada a partir de K, encurtamento nenhum. Se o observador mede, portanto, com a sua régua primeiro a circunferência do disco, depois o diâmetro, e em seguida divide um resultado pelo outro, acha como quociente não o conhecido número π = 3,14…, mas um número maior[2], enquanto num disco em repouso em relação a K essa operação deveria naturalmente dar exatamente π. Com isso já está provado que as proposições da geometria euclidiana não podem valer com exatidão no disco em rotação, e, portanto, em geral num campo gravitacional, pelo menos se se atribui à varinha o comprimento 1 em toda parte e em qualquer orientação. Com isso também o conceito de linha reta perde o seu significado. Não estamos, portanto, em condições de definir com exatidão, em relação ao disco, as coordenadas x, y, z pelo método usado na teoria da relatividade especial. Mas, enquanto as coordenadas e os tempos dos acontecimentos não estão definidos, também as leis da natureza em que eles aparecem não têm significado exato.
Damit scheinen alle Überlegungen, welche wir bisher über allgemeine Relativität angestellt haben, in Frage gestellt zu sein. In der Tat bedarf es eines subtilen Umweges, um das Postulat der allgemeinen Relativität exakt anzuwenden. Auf diesen wird der Leser durch die folgenden Betrachtungen vorbereitet werden.
Com isso parecem postas em dúvida todas as reflexões que fizemos até aqui sobre a relatividade geral. De fato, é preciso um rodeio sutil para aplicar com exatidão o postulado da relatividade geral. As considerações seguintes vão preparar o leitor para ele.
Notas do autor
[1] Das Feld verschwindet im Mittelpunkt der Scheibe und nimmt proportional dem Abstand von diesem nach außen hin zu.
[2] Bei der ganzen Betrachtung hat man das Galileische (nicht rotierende) System K als Koordinatenkörper zu verwenden, da nur relativ zu K die Gültigkeit der Ergebnisse der speziellen Relativitätstheorie angenommen werden darf (relativ zu K′ herrscht ein Gravitationsfeld).
Notas do autor
[1] O campo se anula no centro do disco e cresce para fora, em proporção à distância ao centro.
[2] Em toda esta consideração deve-se usar como corpo de coordenadas o sistema galileano K (que não gira), porque só em relação a K se pode supor a validade dos resultados da teoria da relatividade especial (em relação a K′ reina um campo gravitacional).