Parte II
§ 22. Einige Schlüsse aus dem allgemeinen Relativitätsprinzip.
22. Algumas conclusões do princípio da relatividade geral
Die Betrachtungen des § 20 zeigen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, auf rein theoretischem Wege Eigenschaften des Gravitationsfeldes abzuleiten. Es sei nämlich der raum-zeitliche Verlauf irgendeines Naturvorganges bekannt, so wie er sich im Galileischen Gebiete relativ zu einem Galileischen Bezugskörper K abspielt. Dann kann man durch rein theoretische Operationen, d. h. durch bloße Rechnung, finden, wie sich dieser bekannte Naturvorgang von einem relativ zu K beschleunigten Bezugskörper K′ aus ausnimmt. Da aber relativ zu diesem neuen Bezugskörper K′ ein Gravitationsfeld existiert, so erfährt man bei der Betrachtung, wie das Gravitationsfeld den studierten Vorgang beeinflußt.
As considerações do § 20 mostram que o princípio da relatividade geral nos põe em condições de deduzir por via puramente teórica propriedades do campo gravitacional. Suponhamos, com efeito, conhecido o curso espaço-temporal de um processo natural qualquer, tal como ele se passa numa região galileana em relação a um corpo de referência galileano K. Então se pode achar por operações puramente teóricas, isto é, por simples cálculo, como esse processo conhecido se apresenta visto de um corpo de referência K′ acelerado em relação a K. Mas, como em relação a esse novo corpo de referência K′ existe um campo gravitacional, fica-se sabendo, por essa consideração, como o campo gravitacional influi no processo estudado.
So erfahren wir beispielsweise, daß ein Körper, der gegenüber K eine geradlinig gleichförmige Bewegung ausführt (entsprechend dem Galileischen Satze), gegenüber dem beschleunigten Bezugskörper K′ (Kasten) eine beschleunigte, im allgemeinen krummlinige Bewegung ausführt. Diese Beschleunigung bzw. Krümmung entspricht dem Einfluß des relativ zu K′ herrschenden Gravitationsfeldes auf den bewegten Körper. Daß das Gravitationsfeld in dieser Weise die Bewegung der Körper beeinflußt, ist bekannt, so daß die Überlegung nichts prinzipiell Neues liefert.
Assim ficamos sabendo, por exemplo, que um corpo que executa em relação a K um movimento retilíneo uniforme (de acordo com a proposição de Galileu) executa em relação ao corpo de referência acelerado K′ (a caixa) um movimento acelerado e, em geral, curvilíneo. Essa aceleração, ou curvatura, corresponde à influência do campo gravitacional que reina em relação a K′ sobre o corpo em movimento. Que o campo gravitacional influi dessa maneira sobre o movimento dos corpos é sabido, de modo que essa reflexão não dá nada de novo em princípio.
Ein neues Ergebnis von fundamentaler Wichtigkeit erhält man aber, wenn man die entsprechende Überlegung für einen Lichtstrahl durchführt. Gegenüber dem Galileischen Bezugskörper K pflanzt sich dieser in gerader Linie mit der Geschwindigkeit c fort. In bezug auf den beschleunigten Kasten (Bezugskörper K′) ist, wie leicht abzuleiten ist, die Bahn desselben Lichtstrahles keine Gerade mehr. Hieraus ist zu schließen, daß sich Lichtstrahlen in Gravitationsfeldern im allgemeinen krummlinig fortpflanzen. Dies Ergebnis ist in zweifacher Hinsicht von großer Wichtigkeit.
Obtém-se, porém, um resultado novo de importância fundamental quando se faz a reflexão correspondente para um raio de luz. Em relação ao corpo de referência galileano K, ele se propaga em linha reta com a velocidade c. Em relação à caixa acelerada (corpo de referência K′), a trajetória do mesmo raio de luz, como é fácil deduzir, já não é uma reta. Daqui se deve concluir que os raios de luz, nos campos gravitacionais, em geral se propagam em linha curva. Esse resultado é de grande importância em dois sentidos.
Erstens nämlich kann dasselbe mit der Wirklichkeit verglichen werden. Wenn eine eingehende Überlegung auch ergibt, daß die Krümmung der Lichtstrahlen, welche die allgemeine Relativitätstheorie liefert, für die uns in der Erfahrung zur Verfügung stehenden Gravitationsfelder nur äußerst gering ist, so soll sie für Lichtstrahlen, die in der Nähe der Sonne vorbeigehen, doch 1,7 Bogensekunden betragen. Dies müßte sich dadurch äußern, daß die in der Nähe der Sonne erscheinenden Fixsterne, welche bei totalen Sonnenfinsternissen der Beobachtung zugänglich sind, um diesen Betrag von der Sonne weggerückt erscheinen müssen gegenüber der Lage, die sie für uns am Himmel annehmen, wenn die Sonne an einer anderen Stelle am Himmel steht. Die Prüfung des Zutreffens oder Nichtzutreffens dieser Konsequenz ist eine Aufgabe von höchster Wichtigkeit, deren baldige Lösung wir von den Astronomen erhoffen dürfen[1].
Em primeiro lugar, ele pode ser comparado com a realidade. Embora um exame minucioso mostre que a curvatura dos raios de luz dada pela teoria da relatividade geral é extremamente pequena para os campos gravitacionais de que dispomos na experiência, ela deve chegar, para raios de luz que passam perto do Sol, a 1,7 segundo de arco. Isso deveria se manifestar no fato de que as estrelas fixas que aparecem perto do Sol, que podem ser observadas nos eclipses totais do Sol, devem parecer afastadas do Sol nesse valor em comparação com a posição que ocupam para nós no céu quando o Sol está em outro lugar do céu. Verificar se essa consequência se confirma ou não é uma tarefa da mais alta importância, cuja solução próxima podemos esperar dos astrônomos[1].
Zweitens aber zeigt diese Konsequenz, daß nach der allgemeinen Relativitätstheorie das schon oft erwähnte Gesetz von der Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit, das eine der beiden grundlegenden Annahmen der speziellen Relativitätstheorie bildet, keine unbegrenzte Gültigkeit beanspruchen kann. Eine Krümmung der Lichtstrahlen kann nämlich nur dann eintreten, wenn die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes mit dem Orte variiert. Man könnte nun denken, daß durch diese Konsequenz die spezielle Relativitätstheorie, und mit ihr die Relativitätstheorie überhaupt, zu Fall gebracht würde. Dies trifft aber in Wahrheit nicht zu. Es läßt sich nur schließen, daß die spezielle Relativitätstheorie kein unbegrenztes Gültigkeitsgebiet beanspruchen kann; ihre Ergebnisse gelten nur insoweit, als man von den Einflüssen der Gravitationsfelder auf die Erscheinungen (z. B. des Lichtes) absehen kann.
Em segundo lugar, essa consequência mostra que, segundo a teoria da relatividade geral, a lei tantas vezes mencionada da constância da velocidade da luz no vácuo, que é uma das duas suposições fundamentais da teoria da relatividade especial, não pode pretender validade ilimitada. Com efeito, uma curvatura dos raios de luz só pode ocorrer se a velocidade de propagação da luz varia com o lugar. Poderia parecer agora que essa consequência derruba a teoria da relatividade especial, e com ela a teoria da relatividade em geral. Na verdade, porém, não é assim. Só se pode concluir que a teoria da relatividade especial não pode pretender um domínio de validade ilimitado; os seus resultados só valem na medida em que se pode desprezar a influência dos campos gravitacionais sobre os fenômenos (da luz, por exemplo).
Da die Gegner der Relativitätstheorie öfters behauptet haben, die spezielle Relativitätstheorie werde durch die allgemeine Relativitätstheorie über den Haufen geworfen, will ich den wirklichen Sachverhalt durch einen Vergleich deutlicher machen. Vor der Aufstellung der Elektrodynamik wurden die Gesetze der Elektrostatik für die Gesetze der Elektrizität schlechthin angesehen. Heute wissen wir, daß die Elektrostatik die elektrischen Felder nur in dem nie streng realisierten Falle richtig liefern kann, daß die elektrischen Massen relativ zueinander und zum Koordinatensystem exakt ruhen. Ist deshalb die Elektrostatik durch Maxwells Feldgleichungen der Elektrodynamik über den Haufen geworfen worden? Keineswegs! Die Elektrostatik ist als Grenzfall in der Elektrodynamik enthalten; die Gesetze der letzteren führen direkt auf die ersteren in dem Falle, daß die Felder zeitlich unveränderlich sind. Es ist das schönste Los einer physikalischen Theorie, wenn sie selbst zur Aufstellung einer umfassenden Theorie den Weg weist, in welcher sie als Grenzfall weiterlebt.
Como os adversários da teoria da relatividade muitas vezes afirmaram que a teoria da relatividade especial é derrubada pela teoria da relatividade geral, quero tornar mais clara a verdadeira situação por meio de uma comparação. Antes da formulação da eletrodinâmica, as leis da eletrostática eram tidas pelas leis da eletricidade pura e simplesmente. Hoje sabemos que a eletrostática só pode dar corretamente os campos elétricos no caso, nunca realizado com rigor, de as massas elétricas estarem exatamente em repouso umas em relação às outras e ao sistema de coordenadas. Terá a eletrostática sido derrubada, por isso, pelas equações de campo da eletrodinâmica de Maxwell? De modo nenhum! A eletrostática está contida na eletrodinâmica como caso-limite; as leis desta levam diretamente às daquela no caso de os campos serem invariáveis no tempo. A sorte mais bela que pode caber a uma teoria física é ela própria mostrar o caminho para a formulação de uma teoria mais abrangente, na qual continua a viver como caso-limite.
Bei dem eben behandelten Beispiel der Lichtausbreitung haben wir gesehen, daß das allgemeine Relativitätsprinzip uns in den Stand setzt, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf von Vorgängen auf theoretischem Wege abzuleiten, deren Gesetze für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes bereits bekannt sind. Die reizvollste Aufgabe, zu deren Lösung das allgemeine Relativitätsprinzip den Schlüssel liefert, betrifft aber die Ermittelung der Gesetze, denen das Gravitationsfeld selbst genügt. Der Sachverhalt ist hier folgender.
No exemplo da propagação da luz que acabamos de tratar, vimos que o princípio da relatividade geral nos põe em condições de deduzir por via teórica a influência do campo gravitacional sobre o curso de processos cujas leis já são conhecidas para o caso em que falta o campo gravitacional. Mas a tarefa mais atraente, para cuja solução o princípio da relatividade geral dá a chave, diz respeito à determinação das leis a que o próprio campo gravitacional obedece. A situação, aqui, é a seguinte.
Wir kennen raum-zeitliche Gebiete, die sich bei passender Wahl des Bezugskörpers (annähernd) „galileisch“ verhalten, d. h. Gebiete, in denen Gravitationsfelder fehlen. Beziehen wir nun ein solches Gebiet auf einen beliebig bewegten Bezugskörper K′, so ist in bezug auf K′ ein zeitlich und räumlich veränderliches Gravitationsfeld vorhanden[2]. Die Beschaffenheit des letzteren hängt natürlich davon ab, wie wir die Bewegung von K′ wählen. Das allgemeine Gesetz des Gravitationsfeldes muß nach der allgemeinen Relativitätstheorie für alle so erhältlichen Gravitationsfelder erfüllt sein. Wenn nun auch keineswegs alle Gravitationsfelder auf diese Weise erzeugt werden können, so schöpft man doch Hoffnung, aus diesen Gravitationsfeldern spezieller Art das allgemeine Gesetz der Gravitation ableiten zu können. Diese Hoffnung ist aufs schönste in Erfüllung gegangen! Aber vom klaren Sehen dieses Zieles bis zum tatsächlichen Erreichen desselben bedurfte es noch der Überwindung einer ernstlichen Schwierigkeit, die ich dem Leser nicht vorenthalten darf, da sie tief im Wesen der Sache liegt. Es bedarf einer abermaligen Vertiefung der Begriffe von dem raum-zeitlichen Kontinuum.
Conhecemos regiões do espaço-tempo que, com uma escolha adequada do corpo de referência, se comportam (aproximadamente) de modo “galileano”, isto é, regiões em que não há campos gravitacionais. Se agora referirmos uma região dessas a um corpo de referência K′ que se mova de qualquer maneira, em relação a K′ haverá um campo gravitacional variável no tempo e no espaço[2]. A natureza desse campo depende, naturalmente, de como escolhemos o movimento de K′. Segundo a teoria da relatividade geral, a lei geral do campo gravitacional tem de ser satisfeita por todos os campos gravitacionais que se obtêm desse modo. Embora nem de longe todos os campos gravitacionais possam ser produzidos dessa maneira, tem-se a esperança de poder deduzir desses campos gravitacionais de tipo especial a lei geral da gravitação. Essa esperança se realizou da maneira mais bela! Mas, entre ver com clareza essa meta e alcançá-la de fato, foi preciso ainda vencer uma dificuldade séria, que não posso esconder do leitor, porque está na própria essência do assunto. É preciso aprofundar mais uma vez os conceitos relativos ao contínuo espaço-temporal.
Notas do autor
[1] Die Existenz der von der Theorie geforderten Lichtablenkung wurde bei der Sonnenfinsternis vom 30. Mai 1919 photographisch festgestellt durch zwei von der Royal Society ausgerüstete Expeditionen unter der Leitung der Astronomen Eddington und Crommelin.
[2] Dies folgt durch Verallgemeinerung der Betrachtung des § 20.
Notas do autor
[1] A existência do desvio da luz exigido pela teoria foi constatada fotograficamente no eclipse do Sol de 30 de maio de 1919 por duas expedições equipadas pela Royal Society, sob a direção dos astrônomos Eddington e Crommelin.
[2] Isto decorre de uma generalização da consideração do § 20.