Parte II

§ 25. Gaußsche Koordinaten.

25. Coordenadas gaussianas

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Diese analytisch-geometrische Behandlungsweise läßt sich nach Gauß folgendermaßen erzielen. Man denke sich auf die Tischplatte ein System von beliebigen Kurven (vgl. Fig. 3) aufgezeichnet, die wir als u-Kurven bezeichnen und die wir je mit einer Zahl bezeichnen. In der Zeichnung sind die Kurven u = 1, u = 2 und u = 3 gezeichnet. Zwischen den Kurven u = 1 und u = 2 sind aber noch unendlich viele eingezeichnet zu denken, welche allen reellen Zahlen entsprechen, die zwischen 1 und 2 liegen. Es liegt dann ein System von u-Kurven vor, welche unendlich dicht die ganze Tischplatte überdecken. Keine u-Kurve soll eine andere schneiden, sondern durch jeden Punkt der Tischplatte eine und nur eine Kurve hindurchgehen. Zu jedem Punkte der Oberfläche der Tischplatte gehört dann ein ganz bestimmter u-Wert. Ebenso sei auf die Fläche ein System von v Kurven gezeichnet, die denselben Bedingungen genügen, in entsprechender Weise mit Zahlen versehen sind, aber ebenfalls beliebig gestaltet sein können. Es gehört dann zu jedem Punkte der Tischplatte ein u-Wert und ein v-Wert, welche beiden Zahlen wir die Koordinaten der Tischplatte nennen (Gaußsche Koordinaten). Der Punkt P der Figur hat beispielsweise die Gaußschen Koordinaten u = 3; v = 1. Zwei benachbarten Punkten P und P′ auf der Fläche entsprechen dann die Koordinaten

Esse modo de tratamento analítico-geométrico pode ser obtido, segundo Gauss, da seguinte maneira. Imagine-se desenhado no tampo da mesa um sistema de curvas quaisquer (ver a Fig. 3), que chamamos curvas u e designamos cada uma por um número. No desenho estão traçadas as curvas u = 1, u = 2 e u = 3. Mas entre as curvas u = 1 e u = 2 devem-se imaginar traçadas ainda infinitas outras, que correspondem a todos os números reais entre 1 e 2. Tem-se então um sistema de curvas u que cobrem com densidade infinita o tampo inteiro da mesa. Nenhuma curva u deve cortar outra; por cada ponto do tampo da mesa deve passar uma curva, e uma só. A cada ponto da superfície do tampo da mesa pertence então um valor de u bem determinado. Do mesmo modo, suponha-se desenhado na superfície um sistema de curvas v que satisfaçam as mesmas condições, providas de números de maneira correspondente, mas que também podem ter qualquer forma. A cada ponto do tampo da mesa pertencem então um valor de u e um valor de v, dois números que chamamos as coordenadas do tampo da mesa (coordenadas gaussianas). O ponto P da figura, por exemplo, tem as coordenadas gaussianas u = 3, v = 1. A dois pontos vizinhos P e P′ da superfície correspondem então as coordenadas

P: u, v
P′: u + du, v + dv,

wobei du und dv sehr kleine Zahlen bedeuten. Der mit einem Stäbchen gemessene Abstand von P und P′ sei die ebenfalls sehr kleine Zahl ds. Dann ist nach Gauß:

onde du e dv significam números muito pequenos. Seja ds a distância, também um número muito pequeno, entre P e P′, medida com uma varinha. Então, segundo Gauss:

ds² = g₁₁ du² + 2g₁₂ du dv + g₂₂ dv²,

wobei g₁₁, g₁₂, g₂₂ Größen sind, die in ganz bestimmter Weise von u und v abhängen. Die Größen g₁₁, g₁₂ und g₂₂ bestimmen das Verhalten der Stäbchen relativ zu den u-Kurven und v-Kurven, also auch relativ zur Oberfläche des Tisches. In dem Falle, daß die Punkte der betrachteten Oberfläche in bezug auf die Meßstäbchen ein Euklidisches Kontinuum bilden, aber auch nur dann, ist es möglich, die u-Kurven und v-Kurven so zu zeichnen und mit Zahlen zu versehen, daß einfach

onde g₁₁, g₁₂, g₂₂ são grandezas que dependem de u e de v de maneira bem determinada. As grandezas g₁₁, g₁₂ e g₂₂ determinam o comportamento das varinhas em relação às curvas u e às curvas v, e portanto também em relação à superfície da mesa. No caso em que os pontos da superfície considerada formam um contínuo euclidiano em relação às varinhas de medida, e só nesse caso, é possível traçar e numerar as curvas u e as curvas v de tal modo que se tenha simplesmente

ds² = du² + dv²

wird. Dann sind die u-Kurven und v-Kurven gerade Linien im Sinne der Euklidischen Geometrie, welche aufeinander senkrecht stehen. Dann sind die Gaußschen Koordinaten einfach Kartesische. Man sieht, daß die Gaußschen Koordinaten weiter nichts sind als eine Zuordnung je zweier Zahlen zu den Punkten der betrachteten Fläche, derart, daß räumlich benachbarten Punkten sehr wenig verschiedene Zahlenwerte zugeordnet sind.

Então as curvas u e as curvas v são linhas retas, no sentido da geometria euclidiana, perpendiculares entre si. Então as coordenadas gaussianas são simplesmente cartesianas. Vê-se que as coordenadas gaussianas não são mais que uma maneira de associar dois números a cada ponto da superfície considerada, de tal modo que a pontos vizinhos no espaço se associem valores numéricos muito pouco diferentes.

Diese Betrachtungen gelten zunächst für ein Kontinuum von zwei Dimensionen. Aber die Gaußsche Methode läßt sich auch auf ein Kontinuum von drei, vier oder mehr Dimensionen anwenden. Liegt z. B. ein Kontinuum von vier Dimensionen vor, so ergibt sich folgende Darstellung. Jedem Punkte des Kontinuums werden willkürlich vier Zahlen x₁, x₂, x₃, x₄ zugeordnet, welche „Koordinaten“ genannt werden. Benachbarten Punkten entsprechen benachbarte Koordinatenwerte. Ist nun benachbarten Punkten P und P′ ein durch Messungen ermittelbarer, physikalisch wohldefinierter Abstand ds zugeordnet, so gilt eine Formel:

Essas considerações valem de início para um contínuo de duas dimensões. Mas o método de Gauss pode ser aplicado também a um contínuo de três, de quatro ou de mais dimensões. Se se tem, por exemplo, um contínuo de quatro dimensões, resulta a seguinte representação. A cada ponto do contínuo se associam arbitrariamente quatro números x₁, x₂, x₃, x₄, que se chamam “coordenadas”. A pontos vizinhos correspondem valores vizinhos das coordenadas. Se agora a pontos vizinhos P e P′ se associa uma distância ds fisicamente bem definida, que se pode determinar por medições, vale uma fórmula:

ds² = g₁₁ dx₁² + 2g₁₂ dx₁ dx₂ + … + g₄₄ dx₄²,

wobei die Größen g₁₁ usw. Werte haben, die mit dem Orte im Kontinuum variieren. Nur in dem Falle, daß das Kontinuum ein Euklidisches ist, ist es möglich, die Koordinaten x₁···x₄ den Punkten des Kontinuums so zuzuordnen, daß einfach

onde as grandezas g₁₁ etc. têm valores que variam com o lugar no contínuo. Só no caso em que o contínuo é euclidiano é possível associar as coordenadas x₁ … x₄ aos pontos do contínuo de tal modo que se tenha simplesmente

ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄²

wird. Dann gelten in dem vierdimensionalen Kontinuum Beziehungen, welche den in unseren dreidimensionalen Messungen geltenden analog sind.

Valem então no contínuo de quatro dimensões relações análogas às que valem nas nossas medições em três dimensões.

Die angegebene Gaußsche Darstellung für ds² ist übrigens nicht immer möglich, sondern nur dann, wenn genügend kleine Gebiete des betrachteten Kontinuums sich als Euklidische Kontinua ansehen lassen. Dies trifft z. B. offenbar zu in dem Falle der Tischplatte und örtlich veränderlicher Temperatur. Denn für einen kleinen Teil der Platte ist die Temperatur praktisch konstant, das geometrische Verhalten der Stäbchen also beinahe ein solches, wie es gemäß den Regeln der Euklidischen Geometrie sein soll. Die Unstimmigkeiten der Quadratkonstruktion des vorigen Paragraphen treten somit erst deutlich zutage, wenn die Konstruktion des vorigen Paragraphen über einen beträchtlichen Teil der Tischplatte ausgedehnt wird.

A representação de Gauss para ds² dada acima, aliás, nem sempre é possível, mas só quando regiões suficientemente pequenas do contínuo considerado podem ser vistas como contínuos euclidianos. Isso vale evidentemente, por exemplo, no caso do tampo da mesa com temperatura variável de lugar para lugar. Pois numa parte pequena do tampo a temperatura é praticamente constante, e o comportamento geométrico das varinhas é, portanto, quase tal como deve ser segundo as regras da geometria euclidiana. As incoerências da construção de quadrados do parágrafo anterior só aparecem com clareza quando essa construção se estende a uma parte considerável do tampo da mesa.

Zusammenfassend können wir also sagen: Gauß hat eine Methode zur mathematischen Behandlung beliebiger Kontinua erfunden, in denen Maßbeziehungen („Abstand“ benachbarter Punkte) definiert sind. Jedem Punkte des Kontinuums werden so viel Zahlen (Gaußsche Koordinaten) zugeordnet, als das Kontinuum Dimensionen hat. Die Zuordnung erfolgt so, daß die Eindeutigkeit der Zuordnung gewahrt wird, und daß benachbarten Punkten unendlich wenig verschiedene Zahlen (Gaußsche Koordinaten) zugeordnet werden. Das Gaußsche Koordinatensystem ist eine logische Verallgemeinerung des Kartesischen Koordinatensystems. Es ist auch auf Nicht-Euklidische Kontinua anwendbar, allerdings nur dann, wenn kleine Teile des betrachteten Kontinuums mit Bezug auf das definierte Maß („Abstand“) sich mit desto größerer Annäherung Euklidisch verhalten, je kleiner der ins Auge gefaßte Teil des Kontinuums ist.

Resumindo, podemos dizer: Gauss inventou um método para o tratamento matemático de contínuos quaisquer em que estejam definidas relações métricas (“distância” entre pontos vizinhos). A cada ponto do contínuo se associam tantos números (coordenadas gaussianas) quantas são as dimensões do contínuo. A associação se faz de modo que se guarde a da associação e que a pontos vizinhos se associem números (coordenadas gaussianas) infinitamente pouco diferentes. O sistema de coordenadas gaussiano é uma generalização lógica do sistema de coordenadas cartesiano. Pode ser aplicado também a contínuos não euclidianos, mas só quando pequenas partes do contínuo considerado, em relação à medida definida (“distância”), se comportam de modo euclidiano com aproximação tanto maior quanto menor for a parte do contínuo que se considera.

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