Parte II
§ 26. Das raum-zeitliche Kontinuum der speziellen Relativitätstheorie als Euklidisches Kontinuum.
26. O contínuo espaço-temporal da teoria da relatividade especial como contínuo euclidiano
Wir sind nun in der Lage, den in § 17 nur lose angedeuteten Gedanken Minkowskis etwas genauer zu formulieren. Gemäß der speziellen Relativitätstheorie sind für die Beschreibung des raum-zeitlichen, vierdimensionalen Kontinuums gewisse Koordinatensysteme bevorzugt, die wir „Galileische Koordinatensysteme“ genannt haben. Für sie sind die vier Koordinaten x, y, z, t, welche ein Ereignis oder — anders ausgedrückt — einen Punkt des vierdimensionalen Kontinuums bestimmen, in einfacher Weise physikalisch definiert, wie im ersten Teile dieses Büchleins ausführlich dargelegt ist. Für den Übergang von einem Galileischen System zu einem anderen, relativ zum ersten gleichförmig bewegten gelten die Gleichungen der Lorentz-Transformation, welche die Basis für die Ableitung der Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie bilden und ihrerseits weiter nichts sind als der Ausdruck der universellen Gültigkeit des Lichtausbreitungsgesetzes für alle Galileischen Bezugssysteme.
Estamos agora em condições de formular com um pouco mais de precisão a ideia de Minkowski, apenas esboçada no § 17. Segundo a teoria da relatividade especial, para a descrição do contínuo espaço-temporal de quatro dimensões são privilegiados certos sistemas de coordenadas, que chamamos “sistemas de coordenadas galileanos”. Para eles, as quatro coordenadas x, y, z, t, que determinam um acontecimento, ou, em outras palavras, um ponto do contínuo quadridimensional, são definidas fisicamente de modo simples, como se expôs em detalhe na primeira parte deste livrinho. Para a passagem de um sistema galileano a outro, que se move com velocidade uniforme em relação ao primeiro, valem as equações da transformação de Lorentz, que são a base para a dedução das consequências da teoria da relatividade especial e que, por sua vez, não são mais que a expressão da validade universal da lei de propagação da luz para todos os sistemas de referência galileanos.
Minkowski fand, daß die Lorentz-Transformationen folgenden einfachen Bedingungen genügen. Es seien zwei benachbarte Ereignisse betrachtet, deren gegenseitige Lage im vierdimensionalen Kontinuum durch die räumlichen Koordinatendifferenzen dx, dy, dz und die zeitliche Differenz dt bezüglich eines Galileischen Bezugskörpers K gegeben seien. Bezüglich eines zweiten Galileischen Systems seien die analogen Differenzen für diese beiden Ereignisse dx′, dy′, dz′, dt′. Dann gilt zwischen ihnen stets die Bedingung:
Minkowski descobriu que as transformações de Lorentz satisfazem as seguintes condições simples. Considerem-se dois acontecimentos vizinhos, cuja posição mútua no contínuo quadridimensional seja dada, em relação a um corpo de referência galileano K, pelas diferenças de coordenadas espaciais dx, dy, dz e pela diferença de tempo dt. Em relação a um segundo sistema galileano, sejam dx′, dy′, dz′, dt′ as diferenças análogas para esses dois acontecimentos. Então vale sempre entre elas a condição:
dx² + dy² + dz² − c² dt² = dx′² + dy′² + dz′² − c² dt′².
dx² + dy² + dz² − c² dt² = dx′² + dy′² + dz′² − c² dt′².
Diese Bedingung hat die Gültigkeit der Lorentz-Transformation zur Konsequenz. Wir können das so aussprechen: Die zu zwei benachbarten Punkten des vierdimensionalen raum-zeitlichen Kontinuums gehörige Größe
Essa condição tem por consequência a validade da transformação de Lorentz. Podemos enunciar isso assim: a grandeza
ds² = dx² + dy² + dz² − c² dt²
ds² = dx² + dy² + dz² − c² dt²
hat für alle bevorzugten (Galileischen) Bezugskörper denselben Wert. Ersetzt man x, y, z, √−1 ct durch x₁, x₂, x₃, x₄, so erhält man auch das Resultat, daß
relativa a dois pontos vizinhos do contínuo espaço-temporal de quatro dimensões tem o mesmo valor para todos os corpos de referência privilegiados (galileanos). Se substituímos x, y, z, √−1 ct por x₁, x₂, x₃, x₄, obtemos também o resultado de que
ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄²
ds² = dx₁² + dx₂² + dx₃² + dx₄²
von der Wahl des Bezugskörpers unabhängig ist[1]. Die Größe ds nennen wir den „Abstand“ der beiden Ereignisse oder vierdimensionalen Punkte.
é independente da escolha do corpo de referência[1]. À grandeza ds chamamos a “distância” entre os dois acontecimentos, ou pontos quadridimensionais.
Wählt man also die imaginäre Variable √−1 ct statt des reellen t als Zeitvariable, so kann man das raum-zeitliche Kontinuum gemäß der speziellen Relativitätstheorie als ein „Euklidisches“ vierdimensionales Kontinuum auffassen, wie aus den Darlegungen des letzten Paragraphen hervorgeht.
Se, portanto, se escolhe como variável de tempo a variável imaginária √−1 ct, em vez do t real, pode-se conceber o contínuo espaço-temporal segundo a teoria da relatividade especial como um contínuo quadridimensional “euclidiano”, como decorre das explicações do último parágrafo.
Nota do autor
[1] Vgl. Anhang. Die dort für die Koordinaten selbst abgeleiteten Relationen (11a) und (12) gelten auch für Koordinaten-Differenzen, also auch für Koordinatendifferentiale (unendlich kleine Differenzen).
Nota do autor
[1] Ver o Apêndice. As relações (11a) e (12), deduzidas ali para as próprias coordenadas, valem também para diferenças de coordenadas, e portanto também para diferenciais de coordenadas (diferenças infinitamente pequenas).