Parte I
§ 1. Physikalischer Inhalt geometrischer Sätze.
1. O conteúdo físico das proposições geométricas
Gewiß hast auch du, lieber Leser, als Knabe oder Mädchen mit dem stolzen Gebäude der Geometrie Euklids Bekanntschaft gemacht und erinnerst dich vielleicht mit mehr Achtung als Liebe an den stolzen Bau, auf dessen hohen Treppen du von gewissenhaften Fachlehrern in ungezählten Stunden umhergejagt wurdest. Gewiß würdest du kraft dieser deiner Vergangenheit jeden mit Verachtung strafen, der auch nur das abgelegenste Sätzchen dieser Wissenschaft für unwahr erklärte. Aber dies Gefühl stolzer Sicherheit verließe dich vielleicht sogleich, wenn dich einer fragte: „Was meinst du denn mit der Behauptung, daß diese Sätze wahr seien?“ Bei dieser Frage wollen wir ein wenig verweilen.
Com certeza também você, caro leitor, quando menino ou menina, travou conhecimento com o soberbo edifício da geometria de Euclides e se lembra, talvez com mais respeito que amor, dessa construção altiva, por cujas altas escadarias professores conscienciosos o fizeram correr de um lado para outro em horas sem conta. Com certeza, por força desse seu passado, você castigaria com desprezo quem declarasse falsa a mais remota proposiçãozinha dessa ciência. Mas esse sentimento de orgulhosa segurança talvez o abandonasse no mesmo instante se alguém lhe perguntasse: “O que é que você quer dizer, afinal, quando afirma que essas proposições são verdadeiras?” Detenhamo-nos um pouco nessa pergunta.
Die Geometrie geht aus von gewissen Grundbegriffen, wie Ebene, Punkt, Gerade, mit denen wir mehr oder minder deutliche Vorstellungen zu verbinden imstande sind, und von gewissen einfachen Sätzen (Axiomen), die wir auf Grund jener Vorstellungen als „wahr“ hinzunehmen geneigt sind. Alle übrigen Sätze werden dann auf Grund einer logischen Methode, deren Berechtigung wir uns anzuerkennen genötigt fühlen, auf jene Axiome zurückgeführt, d. h. bewiesen. Ein Satz ist dann richtig bzw. „wahr“, wenn er in der anerkannten Weise aus den Axiomen hergeleitet ist. Die Frage nach der „Wahrheit“ der einzelnen geometrischen Sätze führt also zurück auf die Frage nach der „Wahrheit“ der Axiome. Längst aber ist es bekannt, daß die letztere Frage nicht nur durch die Methoden der Geometrie nicht beantwortbar, sondern überhaupt an sich ohne Sinn ist. Man kann nicht fragen, ob es wahr sei, daß durch zwei Punkte nur eine Gerade hindurchgeht. Man kann nur sagen, daß die Euklidische Geometrie von Gebilden handelt, die sie „Gerade“ nennt, und denen sie die Eigenschaft beilegt, durch zwei ihrer Punkte eindeutig bestimmt zu sein. Der Begriff „wahr“ paßt nicht auf die Aussagen der reinen Geometrie, weil wir mit dem Worte „wahr“ in letzter Linie stets die Übereinstimmung mit einem „realen“ Gegenstande zu bezeichnen pflegen; die Geometrie aber befaßt sich nicht mit der Beziehung ihrer Begriffe zu den Gegenständen der Erfahrung, sondern nur mit dem logischen Zusammenhang dieser Begriffe untereinander.
A geometria parte de certos conceitos fundamentais, como plano, ponto, reta, aos quais somos capazes de associar representações mais ou menos claras, e de certas proposições simples (axiomas), que, com base nessas representações, estamos inclinados a aceitar como “verdadeiras”. Todas as outras proposições são então reduzidas a esses axiomas, isto é, demonstradas, segundo um método lógico cuja legitimidade nos sentimos obrigados a reconhecer. Uma proposição é correta, ou “verdadeira”, quando foi deduzida dos axiomas da maneira reconhecida. A pergunta pela “verdade” de cada proposição geométrica reduz-se, portanto, à pergunta pela “verdade” dos axiomas. Mas há muito se sabe que esta última pergunta não só não pode ser respondida pelos métodos da geometria, como em si mesma não tem sentido algum. Não se pode perguntar se é verdade que por dois pontos passa só uma reta. Pode-se apenas dizer que a geometria euclidiana trata de figuras que ela chama “retas” e às quais atribui a propriedade de serem determinadas de modo único por dois de seus pontos. O conceito de “verdadeiro” não se aplica às afirmações da geometria pura, porque com a palavra “verdadeiro” costumamos designar, em última análise, a concordância com um objeto “real”; ora, a geometria não se ocupa da relação entre os seus conceitos e os objetos da experiência, mas só da conexão lógica desses conceitos entre si.
Daß wir uns trotzdem dazu hingezogen fühlen, die Sätze der Geometrie als „wahr“ zu bezeichnen, erklärt sich leicht. Den geometrischen Begriffen entsprechen mehr oder weniger exakt Gegenstände in der Natur, welch letztere ohne Zweifel die alleinige Ursache für die Entstehung jener Begriffe sind. Mag die Geometrie, um ihrem Gebäude die größtmögliche logische Geschlossenheit zu geben, hiervon Abstand nehmen; die Gewohnheit, beispielsweise in einer Strecke zwei markierte Stellen auf einem praktisch starren Körper zu sehen, steckt tief in unseren Denkgewohnheiten. Wir sind ferner gewohnt, drei Orte als auf einer Geraden befindlich anzunehmen, wenn wir ihre scheinbaren Sehorte durch passende Wahl des Beobachtungsortes bei einäugigem Sehen zusammenfallen lassen können.
Que, apesar disso, nos sintamos levados a chamar “verdadeiras” as proposições da geometria, explica-se facilmente. Aos conceitos geométricos correspondem, de modo mais ou menos exato, objetos da natureza, e estes são, sem dúvida, a única causa do surgimento daqueles conceitos. A geometria pode deixar isso de lado, para dar ao seu edifício a maior coesão lógica possível; mas o hábito, por exemplo, de ver num segmento duas marcas feitas sobre um corpo praticamente rígido está profundamente arraigado nos nossos hábitos de pensamento. Estamos também acostumados a supor que três lugares estão numa reta quando, escolhendo bem o ponto de observação e olhando com um olho só, conseguimos fazer coincidir as posições aparentes em que os vemos.
Wenn wir nun, der Denkgewohnheit folgend, den Sätzen der Euklidischen Geometrie den einzigen Satz zufügen, daß zwei Punkten eines praktisch starren Körpers stets die nämliche Entfernung (Strecke) entspreche, was für Lagenänderungen wir auch mit dem Körper vornehmen mögen, so werden aus den Sätzen der euklidischen Geometrie Sätze über die mögliche relative Lagerung praktisch starrer Körper[1]. Die so ergänzte Geometrie ist dann als ein Zweig der Physik zu behandeln. Jetzt kann mit Recht nach der „Wahrheit“ so interpretierter geometrischer Sätze gefragt werden, denn es kann gefragt werden, ob jene Sätze zutreffen für diejenigen realen Dinge, welche wir den geometrischen Begriffen zugeordnet haben. Etwas ungenau können wir also sagen, daß wir unter der „Wahrheit“ eines geometrischen Satzes in diesem Sinne sein Zutreffen bei einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal verstehen.
Se agora, seguindo o hábito de pensamento, acrescentarmos às proposições da geometria euclidiana uma única proposição, a de que a dois pontos de um corpo praticamente rígido corresponde sempre a mesma distância (segmento), quaisquer que sejam as mudanças de posição a que submetamos o corpo, as proposições da geometria euclidiana se tornam proposições sobre a disposição relativa possível de corpos praticamente rígidos[1]. A geometria assim completada deve então ser tratada como um ramo da física. Agora se pode perguntar com razão pela “verdade” das proposições geométricas assim interpretadas, porque se pode perguntar se elas valem para aquelas coisas reais que associamos aos conceitos geométricos. Com alguma imprecisão, podemos dizer, portanto, que por “verdade” de uma proposição geométrica, nesse sentido, entendemos que ela se confirma numa construção feita com régua e compasso.
Die Überzeugung von der „Wahrheit“ der geometrischen Sätze in diesem Sinne beruht natürlich ausschließlich auf ziemlich unvollkommenen Erfahrungen. Wir werden jene Wahrheit der geometrischen Sätze zunächst voraussetzen, um dann im letzten Teile unserer Betrachtungen (bei der allgemeinen Relativitätstheorie) zu sehen, daß und inwiefern jene Wahrheit ihre Grenzen hat.
A convicção da “verdade” das proposições geométricas nesse sentido repousa, naturalmente, só em experiências bastante imperfeitas. De início vamos supor essa verdade das proposições geométricas, para depois ver, na última parte das nossas considerações (na teoria da relatividade geral), que ela tem limites e quais são eles.
Nota do autor
[1] Damit ist auch der geraden Linie ein Naturobjekt zugeordnet. Drei Punkte eines starren Körpers A, B, C liegen dann in einer Geraden, wenn bei gegebenen Punkten A und C der Punkt B so gewählt ist, daß die Summe der Entfernungen A͞B und B͞C möglichst gering wird. Diese lückenhafte Andeutung mag in diesem Zusammenhange genügen.
Nota do autor
[1] Com isso também se associa à linha reta um objeto da natureza. Três pontos A, B, C de um corpo rígido estão então numa reta quando, dados os pontos A e C, o ponto B é escolhido de tal modo que a soma das distâncias A͞B e B͞C seja a menor possível. Esta indicação incompleta pode bastar neste contexto.