Parte I
§ 2. Das Koordinatensystem.
2. O sistema de coordenadas
Auf Grund der angedeuteten physikalischen Interpretation des Abstandes sind wir auch in der Lage, den Abstand zweier Punkte eines starren Körpers auf Grund von Messungen festzusetzen. Dazu brauchen wir eine ein- für allemal zu benutzende Strecke (Stäbchen S), welche als Einheitsmaßstab verwendet wird. Sind nun A und B zwei Punkte eines starren Körpers, so ist deren Verbindungsgerade konstruierbar nach den Gesetzen der Geometrie; hierauf kann man auf dieser Verbindungsgeraden die Strecke S von A aus so oft abtragen, bis man nach B gelangt. Die Zahl der Wiederholungen des Abtragens ist die Maßzahl der Strecke A͞B. Hierauf beruht alles Messen von Längen[1].
Com base na interpretação física da distância que indicamos, estamos também em condições de estabelecer por meio de medições a distância entre dois pontos de um corpo rígido. Para isso precisamos de um segmento (a varinha S), que usaremos de uma vez por todas como unidade de medida. Se A e B são dois pontos de um corpo rígido, a reta que os une pode ser construída segundo as leis da geometria; em seguida, sobre essa reta, pode-se marcar o segmento S a partir de A tantas vezes quantas forem necessárias para chegar a B. O número de vezes que se marcou o segmento é a medida do segmento A͞B. Nisto se baseia toda medição de comprimentos[1].
Jede räumliche Beschreibung des Ortes eines Ereignisses oder Gegenstandes beruht darauf, daß man den Punkt eines starren Körpers (Bezugskörpers) angibt, mit dem jenes Ereignis koinzidiert. Dies gilt nicht nur für die wissenschaftliche Beschreibung, sondern auch für das tägliche Leben. Analysiere ich die Ortsangabe „in Berlin, auf dem Potsdamer Platz“, so bedeutet sie folgendes. Der Erdboden ist der starre Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht; auf ihm ist „Potsdamerplatz in Berlin“ ein markierter, mit Namen versehener Punkt, mit dem das Ereignis räumlich koinzidiert[2].
Toda descrição espacial do lugar de um acontecimento ou de um objeto consiste em indicar o ponto de um corpo rígido (corpo de referência) com o qual esse acontecimento coincide. Isso vale não só para a descrição científica, mas também para a vida de todos os dias. Se analiso a indicação de lugar “em Berlim, na Potsdamer Platz”, ela significa o seguinte. O chão da Terra é o corpo rígido a que se refere a indicação de lugar; nele, “Potsdamer Platz em Berlim” é um ponto marcado e provido de nome, com o qual o acontecimento coincide no espaço[2].
Diese primitive Art der Ortsangabe kennt nur Orte an der Oberfläche starrer Körper und ist an das Vorhandensein unterscheidbarer Punkte dieser Oberfläche gebunden. Sehen wir zu, wie sich der menschliche Geist von diesen beiden Beschränkungen befreit, ohne daß das Wesen der Ortsangabe eine Änderung erfährt! Schwebt beispielsweise über dem Potsdamer Platz eine Wolke, so kann der Ort dieser, bezogen auf die Erdoberfläche, dadurch festgelegt werden, daß man auf dem Platze senkrecht eine Stange errichtet, die bis zur Wolke hinaufreicht. Die mit dem Einheitsmaßstab gemessene Länge der Stange in Verbindung mit der Angabe des Ortes des Fußpunktes der Stange ist dann eine vollständige Ortsangabe. An diesem Beispiele sehen wir, auf welchem Wege eine Verfeinerung des Ortsbegriffes vor sich gegangen ist.
Esse modo primitivo de indicar o lugar só conhece lugares na superfície de corpos rígidos e depende da existência de pontos distinguíveis nessa superfície. Vejamos como o espírito humano se liberta dessas duas limitações sem que mude a essência da indicação de lugar! Se, por exemplo, paira uma nuvem sobre a Potsdamer Platz, o lugar dela, em relação à superfície da Terra, pode ser fixado erguendo-se verticalmente na praça uma vara que chegue até a nuvem. O comprimento da vara, medido com a unidade de medida, junto com a indicação do lugar do pé da vara, é então uma indicação de lugar completa. Esse exemplo mostra por que caminho se deu o refinamento do conceito de lugar.
a) Man setzt den starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht, in solcher Weise fort, daß der zu lokalisierende Gegenstand von dem vervollständigten starren Körper erreicht wird.
a) Prolonga-se o corpo rígido a que se refere a indicação de lugar, de tal modo que o corpo rígido assim completado alcance o objeto que se quer localizar.
b) Man benutzt zur Charakterisierung des Ortes die Zahl statt benannter Merkpunkte (hier die mit dem Maßstab gemessene Länge der Stange).
b) Para caracterizar o lugar, usa-se o número em vez de pontos de referência com nome (aqui, o comprimento da vara medido com a régua).
c) Man spricht von der Höhe der Wolke auch dann, wenn eine Stange, welche die Wolke erreicht, gar nicht errichtet ist. In unserem Falle ermittelt man aus optischen Aufnahmen der Wolke von verschiedenen Stellen des Bodens aus unter Berücksichtigung der Ausbreitungseigenschaften des Lichtes, wie lang die Stange gemacht werden müßte, um die Wolke zu erreichen.
c) Fala-se da altura da nuvem mesmo quando não se ergueu vara nenhuma que a alcance. No nosso caso, determina-se, a partir de fotografias da nuvem tiradas de vários pontos do chão e levando em conta as propriedades de propagação da luz, o comprimento que a vara deveria ter para alcançar a nuvem.
Aus dieser Überlegung sieht man, daß es für die Beschreibung von Orten vorteilhaft sein wird, wenn es gelingt, sich durch Verwendung von Meßzahlen von der Existenz mit Namen versehener Merkpunkte auf dem starren Körper, auf den sich die Ortsangabe bezieht, unabhängig zu machen. Dies erreicht die messende Physik durch Anwendung des Kartesischen Koordinatensystems.
Dessa reflexão se vê que, para descrever lugares, será vantajoso conseguir, pelo uso de números de medida, tornar-se independente da existência de pontos de referência com nome sobre o corpo rígido a que se refere a indicação de lugar. A física de medição consegue isso empregando o sistema de coordenadas cartesiano.
Dieses besteht in drei zueinander senkrechten, zu einem starren Körper verbundenen starren, ebenen Wänden. Der Ort irgendeines Geschehnisses in bezug auf das Koordinatensystem wird (im wesentlichen) beschrieben durch die Angabe der Länge der drei Lote oder Koordinaten (x, y, z), welche von dem Geschehnis aus auf jene drei ebenen Wände gefällt werden können. Die Längen dieser drei Lote sind durch eine Folge von Manipulationen mit starren Stäben ermittelbar, welche Manipulationen durch die Gesetze und Methoden der Euklidischen Geometrie vorgeschrieben werden.
Ele consiste em três paredes planas e rígidas, perpendiculares entre si e ligadas num corpo rígido. O lugar de um acontecimento qualquer em relação ao sistema de coordenadas é descrito (no essencial) pela indicação do comprimento das três perpendiculares ou coordenadas (x, y, z) que se podem baixar do acontecimento sobre essas três paredes planas. O comprimento dessas três perpendiculares pode ser determinado por uma série de manipulações com barras rígidas, manipulações que as leis e os métodos da geometria euclidiana prescrevem.
Bei den Anwendungen sind jene das Koordinatensystem bildenden starren Wände meist nicht realisiert; auch werden die Koordinaten nicht wirklich durch Konstruktionen mit starren Stäben, sondern indirekt ermittelt. Der physikalische Sinn der Ortsangaben muß jedoch stets den vorstehenden Eröterungen gemäß gesucht werden, wenn die Ergebnisse der Physik und Astronomie nicht ins Unklare zerfließen sollen[3].
Nas aplicações, aquelas paredes rígidas que formam o sistema de coordenadas em geral não são construídas de fato; e as coordenadas também não são determinadas realmente por construções com barras rígidas, mas de modo indireto. O sentido físico das indicações de lugar, porém, deve sempre ser buscado de acordo com as explicações acima, se não quisermos que os resultados da física e da astronomia se dissolvam na obscuridade[3].
Es ergibt sich also folgendes: Jede räumliche Beschreibung von Geschehnissen bedient sich eines starren Körpers, auf den die Geschehnisse räumlich zu beziehen sind. Jene Beziehung setzt voraus, daß für „Strecken“ die Gesetze der Euklidischen Geometrie gelten, wobei die „Strecke“ physikalisch repräsentiert wird durch zwei Marken auf einem starren Körper.
Resulta, portanto, o seguinte: toda descrição espacial de acontecimentos se serve de um corpo rígido a que esses acontecimentos devem ser referidos no espaço. Essa referência supõe que para os “segmentos” valham as leis da geometria euclidiana, sendo o “segmento” representado fisicamente por duas marcas sobre um corpo rígido.
Notas do autor
[1] Dabei ist allerdings angenommen, daß die Messung aufgehe, d. h. eine ganze Zahl ergebe. Von dieser Schwierigkeit befreit man sich durch die Anwendung geteilter Maßstäbe, deren Einführung keine prinzipiell neue Methode verlangt.
[2] Eine weitere Untersuchung darüber, was hier „räumliche Koinzidenz“ bedeutet, ist hier nicht nötig; denn dieser Begriff ist insofern klar, als im einzelnen realen Falle Meinungsverschiedenheiten darüber, ob er zutreffe oder nicht, kaum auftreten dürften.
[3] Erst durch die im zweiten Teil des Büchleins behandelte allgemeine Relativitätstheorie wird eine Verfeinerung und Änderung dieser Auffassungen nötig.
Notas do autor
[1] Supõe-se aqui, é verdade, que a medida seja exata, isto é, dê um número inteiro. Livramo-nos dessa dificuldade com o uso de réguas graduadas, cuja introdução não exige nenhum método novo em princípio.
[2] Não é preciso investigar aqui mais a fundo o que significa “coincidência espacial”; esse conceito é claro o bastante para que, em cada caso real, dificilmente surjam divergências sobre se ele se aplica ou não.
[3] Só a teoria da relatividade geral, tratada na segunda parte do livrinho, torna necessário refinar e modificar essas concepções.