Parte I

§ 11. Die Lorentz-Transformation.

11. A transformação de Lorentz

Die Überlegungen der letzten drei Paragraphen zeigen uns, daß die scheinbare Unvereinbarkeit des Ausbreitungsgesetzes des Lichtes mit dem Relativitätsprinzip in § 7 durch eine Betrachtung abgeleitet worden ist, welche der klassischen Mechanik zwei durch nichts gerechtfertigte Hypothesen entlehnte; diese Hypothesen lauten:

As reflexões dos três últimos parágrafos nos mostram que a aparente incompatibilidade da lei de propagação da luz com o princípio da relatividade foi deduzida no § 7 por uma consideração que tomava emprestadas à mecânica clássica duas hipóteses que nada justifica; essas hipóteses dizem:

1. Der Zeitabstand zwischen zwei Ereignissen ist vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig.

1. O intervalo de tempo entre dois acontecimentos é independente do estado de movimento do corpo de referência.

2. Der räumliche Abstand zwischen zwei Punkten eines starren Körpers ist vom Bewegungszustande des Bezugskörpers unabhängig.

2. A distância espacial entre dois pontos de um corpo rígido é independente do estado de movimento do corpo de referência.

Läßt man nun diese Hypothesen fallen, so verschwindet das Dilemma des § 7, weil das in § 6 abgeleitete Additionstheorem der Geschwindigkeiten ungültig wird. Es taucht vor uns die Möglichkeit auf, daß das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum mit dem Relativitätsprinzip vereinbar sein könnte. Wir kommen zu der Frage: Wie ist die Überlegung des § 6 zu modifizieren, um den scheinbaren Widerspruch zwischen diesen beiden fundamentalen Ergebnissen der Erfahrung zu beseitigen? Diese Frage führt auf eine allgemeine. In der Überlegung des § 6 kommen Orte und Zeiten in bezug auf den Zug und in bezug auf den Bahndamm vor. Wie findet man Ort und Zeit eines Ereignisses in bezug auf den Zug, wenn Ort und Zeit des Ereignisses in bezug auf den Bahndamm bekannt sind? Gibt es eine solche denkbare Antwort auf diese Frage, daß das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum dem Relativitätsprinzip nicht widerspricht? Anders ausgedrückt: Ist eine Relation zwischen Ort und Zeit der einzelnen Ereignisse in bezug auf beide Bezugskörper denkbar, derart, daß jeder Lichtstrahl relativ zum Bahndamm und relativ zum Zug die Ausbreitungsgeschwindigkeit c besitzt? Diese Frage führt zu einer bejahenden, ganz bestimmten Antwort, zu einem ganz bestimmten Verwandlungsgesetz für die Raum-Zeit-Größen eines Ereignisses beim Übergang von einem Bezugskörper zu einem anderen.

Se abandonarmos essas hipóteses, desaparece o dilema do § 7, porque o teorema da adição das velocidades deduzido no § 6 deixa de valer. Surge diante de nós a possibilidade de que a lei da propagação da luz no vácuo seja compatível com o princípio da relatividade. Chegamos à pergunta: como se deve modificar a reflexão do § 6 para eliminar a contradição aparente entre esses dois resultados fundamentais da experiência? Essa pergunta leva a outra, geral. Na reflexão do § 6 aparecem lugares e tempos em relação ao trem e em relação ao leito da ferrovia. Como se acham o lugar e o tempo de um acontecimento em relação ao trem, quando se conhecem o lugar e o tempo do acontecimento em relação ao leito da ferrovia? Há para essa pergunta uma resposta concebível tal que a lei da propagação da luz no vácuo não contradiga o princípio da relatividade? Em outras palavras: é concebível uma relação entre o lugar e o tempo de cada acontecimento em relação aos dois corpos de referência, de tal modo que todo raio de luz tenha a velocidade de propagação c em relação ao leito da ferrovia e em relação ao trem? Essa pergunta leva a uma resposta afirmativa e bem determinada, a uma lei de transformação bem determinada para as grandezas de espaço e de tempo de um acontecimento na passagem de um corpo de referência a outro.

Bevor wir hierauf eingehen, sei folgende Zwischenüberlegung eingeschaltet. Wir haben bis jetzt stets nur Ereignisse betrachtet, die sich längs des Bahndammes abspielten, der mathematisch die Funktion einer geraden Linie zu übernehmen hatte. Man kann sich aber in der in § 2 angegebenen Weise diesen Bezugskörper seitlich und nach oben durch ein Stabgerüst derart fortgesetzt denken, daß ein irgendwo stattfindendes Ereignis relativ zu diesem Stabgerüst lokalisiert werden kann. Analog kann man sich den mit der Geschwindigkeit v fahrenden Zug durch den ganzen Raum fortgesetzt denken, so daß jedes noch so ferne Ereignis auch in bezug auf das zweite Gerüst lokalisiert werden könnte. Davon, daß diese Gerüste einander in Wahrheit wegen der Undurchdringlichkeit der festen Körper immer wieder zerstören müßten, können wir absehen, ohne in prinzipielle Fehler zu geraten. In jedem solchen Gerüst denken wir uns drei aufeinander senkrechte Wände ausgezeichnet und als „Koordinatenebenen“ bezeichnet („Koordinatensystem“). Dem Bahndamm entspricht dann ein Koordinatensystem K, dem Zug ein Koordinatensystem K′. Ein irgendwo stattfindendes Ereignis wird bezüglich K räumlich fixiert durch die drei Lote x, y, z auf die Koordinatenebenen und zeitlich fixiert durch einen Zeitwert t. Dasselbe Ereignis wird bezüglich K′ raum-zeitlich fixiert durch entsprechende Werte x′, y′, z′, t′, welche mit x, y, z, t natürlich nicht übereinstimmen. Wie diese Größen als Ergebnisse physikalischer Messungen aufzufassen sind, wurde früher ausführlich dargelegt.

Antes de entrar nisso, intercalemos a seguinte reflexão. Até agora consideramos sempre apenas acontecimentos que se passavam ao longo do leito da ferrovia, que tinha de fazer, matematicamente, o papel de uma linha reta. Mas podemos imaginar esse corpo de referência prolongado para os lados e para cima, da maneira indicada no § 2, por um andaime de barras, de tal modo que um acontecimento que se dê em qualquer lugar possa ser localizado em relação a esse andaime. Do mesmo modo, podemos imaginar o trem que anda com a velocidade v prolongado por todo o espaço, de tal modo que todo acontecimento, por mais distante que seja, possa ser localizado também em relação ao segundo andaime. Podemos deixar de lado, sem cair em erros de princípio, o fato de que esses andaimes, na verdade, por causa da impenetrabilidade dos corpos sólidos, teriam de se destruir um ao outro sem parar. Em cada um desses andaimes imaginamos destacadas três paredes perpendiculares entre si, a que chamamos “planos coordenados” (“sistema de coordenadas”). Ao leito da ferrovia corresponde então um sistema de coordenadas K; ao trem, um sistema de coordenadas K′. Um acontecimento que se dê em qualquer lugar é fixado no espaço, em relação a K, pelas três perpendiculares x, y, z baixadas sobre os planos coordenados, e no tempo por um valor de tempo t. O mesmo acontecimento é fixado no espaço e no tempo, em relação a K′, por valores correspondentes x′, y′, z′, t′, que naturalmente não coincidem com x, y, z, t. Como essas grandezas devem ser entendidas como resultados de medições físicas já foi exposto em detalhe.

Unser Problem lautet in exakter Formulierung offenbar folgendermaßen. Wie groß sind die Werte x′, y′, z′, t′ eines Ereignisses in bezug auf K′, wenn die Größen x, y, z, t desselben Ereignisses in bezug auf K gegeben sind? Die Beziehungen müssen so gewählt werden, daß dem Gesetz der Vakuumfortpflanzung des Lichtes für einen und denselben Lichtstrahl (und zwar für jeden) in bezug auf K und K′ Genüge geleistet wird. Dies Problem wird für die in der Zeichnung (Fig. 2) angegebene relative räumliche Orientierung der Koordinatensysteme gelöst durch die Gleichungen:

O nosso problema, formulado com exatidão, é evidentemente o seguinte. Quais são os valores x′, y′, z′, t′ de um acontecimento em relação a K′, quando são dadas as grandezas x, y, z, t do mesmo acontecimento em relação a K? As relações têm de ser escolhidas de modo que a lei da propagação da luz no vácuo seja satisfeita para um mesmo raio de luz (e para todo raio de luz) em relação a K e a K′. Para a orientação espacial relativa dos sistemas de coordenadas indicada no desenho (Fig. 2), esse problema é resolvido pelas equações:

x′ = (x − vt) / √(1 − v²/c²)
y′ = y
z′ = z
t′ = (t − (v/c²) x) / √(1 − v²/c²),

welches Gleichungssystem mit dem Namen „Lorentz-Transformation“ bezeichnet wird[1].

sistema de equações que é designado pelo nome de “transformação de Lorentz”[1].

Würden wir aber an Stelle des Lichtausbreitungsgesetzes die stillschweigenden Voraussetzungen der alten Mechanik von dem absoluten Charakter der Zeiten und Längen zugrunde gelegt haben, so würden wir statt dieser Transformationsgleichungen zu den Gleichungen

Se, porém, em lugar da lei de propagação da luz, tivéssemos tomado por base as suposições tácitas da velha mecânica sobre o caráter absoluto dos tempos e dos comprimentos, em vez dessas equações de transformação teríamos chegado às equações

x′ = x − vt
y′ = y
z′ = z
t′ = t

gelangt sein, welches System man oft als „Galilei-Transformation“ bezeichnet. Die Galilei-Transformation geht aus der Lorentz-Transformation dadurch hervor, daß man in letzterer die Lichtgeschwindigkeit c gleich einem unendlich großen Werte setzt.

sistema que muitas vezes se chama “transformação de Galileu”. A transformação de Galileu resulta da transformação de Lorentz quando nesta se faz a velocidade da luz c igual a um valor infinitamente grande.

Daß gemäß der Lorentz-Transformation das Gesetz der Lichtausbreitung im Vakuum sowohl für den Bezugskörper K wie für den Bezugskörper K′ erfüllt ist, sieht man bequem an folgendem Beispiel. Es werde ein Lichtsignal längs der positiven x-Achse gesandt, und es pflanze sich die Lichterregung gemäß der Gleichung

Que, segundo a transformação de Lorentz, a lei da propagação da luz no vácuo é satisfeita tanto para o corpo de referência K como para o corpo de referência K′, vê-se com facilidade pelo seguinte exemplo. Envie-se um sinal luminoso ao longo do eixo positivo dos x, e propague-se a excitação luminosa segundo a equação

x = ct,

also mit der Geschwindigkeit c fort. Gemäß den Gleichungen der Lorentz-Transformation bedingt diese einfache Beziehung zwischen x und t eine Beziehung zwischen x′ und t′. In der Tat liefert die erste und vierte Gleichung der Lorentz-Transformation, wenn man in dieselben für x den Wert ct einsetzt:

isto é, com a velocidade c. Segundo as equações da transformação de Lorentz, essa relação simples entre x e t acarreta uma relação entre x′ e t′. De fato, a primeira e a quarta equação da transformação de Lorentz, quando nelas se põe para x o valor ct, dão:

x′ = (c − v)t / √(1 − v²/c²)
t′ = (1 − v/c)t / √(1 − v²/c²),

aus welchen dann durch Division unmittelbar

de onde, por divisão, se segue imediatamente

x′ = ct′

folgt. Nach dieser Gleichung erfolgt die Lichtausbreitung, wenn sie auf das System K′ bezogen wird. Es zeigt sich also, daß die Ausbreitungsgeschwindigkeit auch relativ zum Bezugskörper K′ gleich c ist. Analog ist es mit Lichtstrahlen, die sich in beliebiger anderer Richtung fortpflanzen. Dies ist natürlich nicht zu verwundern, denn die Gleichungen der Lorentz-Transformation sind ja nach diesem Gesichtspunkte abgeleitet.

Segundo essa equação se dá a propagação da luz quando referida ao sistema K′. Vê-se, portanto, que a velocidade de propagação também em relação ao corpo de referência K′ é igual a c. O mesmo se dá com raios de luz que se propaguem em qualquer outra direção. Naturalmente, isso não é de admirar, pois as equações da transformação de Lorentz foram deduzidas justamente desse ponto de vista.

Nota do autor

[1] Eine einfache Ableitung der Lorentz-Transformation ist im Anhang gegeben.

Nota do autor

[1] No Apêndice se dá uma dedução simples da transformação de Lorentz.

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