Parte I
§ 12. Das Verhalten bewegter Stäbe und Uhren.
12. O comportamento de réguas e relógios em movimento
Ich lege einen Meterstab in die x′-Achse von K′ derart, daß sein Anfang in den Punkt x′ = 0, sein Ende in den Punkt x′ = 1 fällt. Welches ist die Länge des Meterstabes relativ zum System K? Um das zu erfahren, brauchen wir nur zu fragen, wo Stabanfang und Stabende relativ zu K liegen zu einer bestimmten Zeit t des Systems K. Man findet für diese beiden Punkte aus der ersten Gleichung der Lorentz-Transformation für die Zeit t = 0:
Coloco uma régua de um metro no eixo dos x′ de K′, de tal modo que o seu começo fique no ponto x′ = 0 e o seu fim no ponto x′ = 1. Qual é o comprimento da régua em relação ao sistema K? Para sabê-lo, basta perguntar onde estão o começo e o fim da régua em relação a K num tempo determinado t do sistema K. Da primeira equação da transformação de Lorentz, para o tempo t = 0, acha-se para esses dois pontos:
x(Stabanfang) = 0 · √(1 − v²/c²)
x(Stabende) = 1 · √(1 − v²/c²),
x(começo da régua) = 0 · √(1 − v²/c²)
x(fim da régua) = 1 · √(1 − v²/c²),
welche beiden Punkte den Abstand √(1 − v²/c²) haben. Relativ zu K ist aber der Meterstab mit der Geschwindigkeit v bewegt. Es folgt also, daß die Länge eines mit der Geschwindigkeit v in seiner Längsrichtung bewegten starren Meterstabes √(1 − v²/c²) Meter beträgt. Der bewegte starre Stab ist also kürzer als derselbe Stab, wenn er im Zustande der Ruhe ist, und zwar um so kürzer, je rascher er bewegt ist. Für die Geschwindigkeit v = c wäre √(1 − v²/c²) = 0, für noch größere Geschwindigkeiten wird die Wurzel imaginär. Wir schließen daraus, daß in der Relativitätstheorie die Geschwindigkeit c die Rolle einer Grenzgeschwindigkeit spielt, die durch keinen wirklichen Körper erreicht oder gar überschritten werden könnte.
e a distância entre esses dois pontos é √(1 − v²/c²). Mas em relação a K a régua se move com a velocidade v. Segue-se, portanto, que o comprimento de uma régua rígida de um metro que se move no sentido do seu comprimento com a velocidade v é de √(1 − v²/c²) metro. A régua rígida em movimento é, pois, mais curta que a mesma régua em estado de repouso, e tanto mais curta quanto mais depressa se move. Para a velocidade v = c seria √(1 − v²/c²) = 0; para velocidades ainda maiores, a raiz se torna imaginária. Concluímos daí que na teoria da relatividade a velocidade c tem o papel de uma velocidade-limite, que nenhum corpo real poderia alcançar, e muito menos ultrapassar.
Diese Rolle der Geschwindigkeit c als einer Grenzgeschwindigkeit folgt übrigens bereits aus den Gleichungen der Lorentz-Transformation selbst. Denn diese werden sinnlos, wenn v größer als c gewählt wird.
Esse papel da velocidade c como velocidade-limite, aliás, já decorre das próprias equações da transformação de Lorentz. Pois elas perdem o sentido quando se escolhe v maior que c.
Hätten wir umgekehrt einen Meterstab betrachtet, der in der x-Achse relativ zu K ruht, so hätten wir gefunden, daß er, von K′ aus beurteilt, die Länge √(1 − v²/c²) hat; dies liegt ganz im Sinne des Relativitätsprinzips, welches unseren Betrachtungen zugrunde gelegt ist.
Se, ao contrário, tivéssemos considerado uma régua de um metro em repouso em relação a K no eixo dos x, teríamos achado que ela, julgada a partir de K′, tem o comprimento √(1 − v²/c²); isso está inteiramente de acordo com o princípio da relatividade, que está na base das nossas considerações.
Daß wir aus den Transformationsgleichungen etwas über das physikalische Verhalten von Maßstäben und Uhren erfahren müssen, liegt a priori auf der Hand. Denn die Größen x, y, z, t sind ja nichts anderes als mit Maßstäben und Uhren zu gewinnende Meßresultate. Hätten wir die Galilei-Transformation zugrunde gelegt, so hätten wir eine Stabverkürzung infolge der Bewegung nicht erhalten.
Que das equações de transformação tenhamos de aprender algo sobre o comportamento físico de réguas e relógios é evidente a priori. Pois as grandezas x, y, z, t não são outra coisa senão resultados de medições que se obtêm com réguas e relógios. Se tivéssemos tomado por base a transformação de Galileu, não teríamos obtido um encurtamento da régua por efeito do movimento.
Wir betrachten nun eine Sekundenuhr, die dauernd im Anfangspunkte (x′ = 0) von K′ ruht. t′ = 0 und t′ = 1 seien zwei aufeinander folgende Schläge dieser Uhr. Für diese beiden Schläge ergeben die erste und vierte der Gleichungen der Lorentz-Transformation:
Consideremos agora um relógio que bate os segundos, em repouso permanente na origem (x′ = 0) de K′. Sejam t′ = 0 e t′ = 1 duas batidas sucessivas desse relógio. Para essas duas batidas, a primeira e a quarta das equações da transformação de Lorentz dão:
t = 0
t = 0
und
e
t = 1/√(1 − v²/c²).
t = 1/√(1 − v²/c²).
Von K aus beurteilt ist die Uhr mit der Geschwindigkeit v bewegt; von diesem Bezugskörper aus beurteilt vergeht zwischen zweien ihrer Schläge nicht eine Sekunde, sondern 1/√(1 − v²/c²) Sekunden, also eine etwas größere Zeit. Die Uhr geht infolge ihrer Bewegung langsamer als im Zustande der Ruhe. Auch hier spielt die Geschwindigkeit c die Rolle einer unerreichbaren Grenzgeschwindigkeit.
Julgado a partir de K, o relógio se move com a velocidade v; julgando-se a partir desse corpo de referência, entre duas das suas batidas não passa um segundo, mas 1/√(1 − v²/c²) segundos, isto é, um tempo um pouco maior. Por causa do seu movimento, o relógio anda mais devagar que em estado de repouso. Também aqui a velocidade c tem o papel de uma velocidade-limite inalcançável.