Parte I

§ 13. Additionstheorem der Geschwindigkeiten. Fizeauscher Versuch.

13. O teorema da adição das velocidades. A experiência de Fizeau

As palavras sublinhadas têm nota: toque para ver o sentido.

Da wir Uhren und Maßstäbe in praxi nur mit Geschwindigkeiten bewegen können, die klein sind gegen die Lichtgeschwindigkeit c, so werden die Ergebnisse des vorigen Paragraphen kaum direkt mit der Wirklichkeit verglichen werden können. Da dieselben andererseits dem Leser recht sonderbar vorkommen werden, so will ich nun aus der Theorie eine andere Konsequenz ziehen, die aus dem bisher Dargelegten leicht abzuleiten ist, und die durch das Experiment glänzend bestätigt wird.

Como na prática só podemos mover relógios e réguas com velocidades pequenas em comparação com a velocidade da luz c, dificilmente os resultados do parágrafo anterior poderão ser comparados diretamente com a realidade. Como, por outro lado, eles hão de parecer bem estranhos ao leitor, quero agora tirar da teoria outra consequência, que se deduz com facilidade do que foi exposto até aqui e que a experiência confirma de modo brilhante.

In § 6 haben wir das Additionstheorem für gleich gerichtete Geschwindigkeiten abgeleitet, so, wie es sich aus den Hypothesen der klassischen Mechanik ergibt. Dasselbe läßt sich auch leicht aus der Galilei-Transformation (§ 11) folgern. Statt des gehenden Mannes im Wagen führen wir einen Punkt ein, der sich relativ zum Koordinatensystem K′ nach der Gleichung

No § 6 deduzimos o teorema da adição para velocidades de mesma direção, tal como resulta das hipóteses da mecânica clássica. Ele se deduz também com facilidade da transformação de Galileu (§ 11). Em lugar do homem que anda no vagão, introduzimos um ponto que se move em relação ao sistema de coordenadas K′ segundo a equação

x′ = wt′

bewegt. Aus der ersten und vierten Gleichung der Galilei-Transformation kann man x′ und t′ durch x und t ausdrücken und erhält so:

Da primeira e da quarta equação da transformação de Galileu podem-se exprimir x′ e t′ por x e t, e obtém-se assim:

x = (v + w) t.

Diese Gleichung drückt nichts anderes aus als das Bewegungsgesetz des Punktes gegenüber dem System K (des Mannes gegenüber dem Bahndamm), welche Geschwindigkeit wir mit W bezeichnen, so daß man, wie in § 6, erhält:

Essa equação não exprime outra coisa senão a lei do movimento do ponto em relação ao sistema K (do homem em relação ao leito da ferrovia), velocidade que designamos por W, de modo que se obtém, como no § 6:

W = v + w . . . (A)

Wir können aber diese Betrachtung ebenso gut unter Zugrundelegung der Relativitätstheorie durchführen. Man hat dann in der Gleichung

Mas podemos fazer essa mesma consideração tomando por base a teoria da relatividade. Então, na equação

x′ = wt′

x′ und t′ durch x und t auszudrücken unter Verwendung der ersten und vierten Gleichung der Lorentz-Transformation. Man erhält dann statt der Gleichung (A) die Gleichung:

é preciso exprimir x′ e t′ por x e t usando a primeira e a quarta equação da transformação de Lorentz. Obtém-se então, em vez da equação (A), a equação:

W = (v + w) / (1 + vw/c²) . . . (B)

welche dem Additionstheorem gleichgerichteter Geschwindigkeiten nach der Relativitätstheorie entspricht. Die Frage ist nun, welches von diesen beiden Theoremen der Erfahrung gegenüber standhält. Hierüber belehrt uns ein höchst wichtiges Experiment, welches der geniale Physiker Fizeau vor mehr als einem halben Jahrhundert ausführte, und das seitdem von einigen der besten Experimentalphysiker wiederholt wurde, so daß das Resultat unbezweifelbar ist. Das Experiment behandelt folgende Frage. In einer ruhenden Flüssigkeit pflanze sich das Licht mit einer bestimmten Geschwindigkeit w fort. Wie rasch pflanzt es sich in der Röhre R der Figur

que corresponde ao teorema da adição das velocidades de mesma direção segundo a teoria da relatividade. A questão agora é saber qual desses dois teoremas resiste à experiência. Sobre isso nos instrui um experimento importantíssimo, que o genial físico Fizeau realizou há mais de meio século, e que desde então foi repetido por alguns dos melhores físicos experimentais, de modo que o resultado está fora de dúvida. O experimento trata da seguinte questão. Num líquido em repouso, a luz se propaga com uma velocidade determinada w. Com que rapidez ela se propaga no tubo R da figura

in der Pfeilrichtung fort, wenn diese von der vorhin genannten Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit v durchströmt ist?

na direção da seta, quando o líquido mencionado corre por ele com a velocidade v?

Wir werden im Sinne des Relativitätsprinzips jedenfalls vorauszusetzen haben, daß relativ zur Flüssigkeit die Lichtausbreitung immer mit derselben Geschwindigkeit w erfolgt, mag die Flüssigkeit relativ zu anderen Körpern bewegt sein oder nicht. Es ist also die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Flüssigkeit und die Geschwindigkeit der letzteren relativ zur Röhre bekannt, gesucht die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre.

No sentido do princípio da relatividade, teremos de supor, em todo caso, que em relação ao líquido a propagação da luz se dá sempre com a mesma velocidade w, esteja o líquido em movimento em relação a outros corpos ou não. Conhece-se, portanto, a velocidade da luz em relação ao líquido e a velocidade deste em relação ao tubo, e procura-se a velocidade da luz em relação ao tubo.

Es ist klar, daß hier wieder die Aufgabe des § 6 vorliegt. Die Röhre spielt die Rolle des Bahndammes bzw. des Koordinatensystems K, die Flüssigkeit die Rolle des Wagens bzw. des Koordinatensystems K′, das Licht endlich die Rolle des im Wagen laufenden Mannes bzw. des bewegten Punktes in diesem Paragraphen. Bezeichnet man also mit W die Geschwindigkeit des Lichtes relativ zur Röhre, so ist diese durch die Gleichung (A) bzw. (B) gegeben, je nachdem die Galilei-Transformation oder die Lorentz-Transformation der Wirklichkeit entspricht.

É claro que temos aqui de novo o problema do § 6. O tubo faz o papel do leito da ferrovia, ou do sistema de coordenadas K; o líquido, o do vagão, ou do sistema de coordenadas K′; a luz, por fim, o do homem que anda no vagão, ou do ponto em movimento deste parágrafo. Se, portanto, designarmos por W a velocidade da luz em relação ao tubo, ela será dada pela equação (A) ou pela (B), conforme a transformação de Galileu ou a de Lorentz corresponda à realidade.

Das Experiment[1] entscheidet für die aus der Relativitätstheorie abgeleitete Gleichung (B), und zwar sehr exakt. Der Einfluß der Strömungsgeschwindigkeit v auf die Lichtfortpflanzung wird nach den letzten, ausgezeichneten Messungen von Zeemann durch die Formel (B) genauer als auf 1 Proz. genau dargestellt.

O experimento[1] decide pela equação (B), deduzida da teoria da relatividade, e com muita exatidão. A influência da velocidade v da corrente sobre a propagação da luz é representada pela fórmula (B), segundo as últimas e excelentes medições de Zeeman, com exatidão melhor que 1 por cento.

Es ist nun allerdings hervorzuheben, daß eine Theorie dieses Phänomens lange vor der Aufstellung der Relativitätstheorie auf rein elektrodynamischem Wege unter Benutzung bestimmter Hypothesen über die elektromagnetische Struktur der Materie von H. A. Lorentz gegeben worden ist. Dieser Umstand vermindert aber die Beweiskraft des Versuches als experimentum crucis zugunsten der Relativitätstheorie keineswegs. Denn die Maxwell-Lorentzsche Elektrodynamik, auf welcher die ursprüngliche Theorie beruhte, steht in keinerlei Gegensatz zur Relativitätstheorie. Letztere ist vielmehr aus der Elektrodynamik herausgewachsen als verblüffend einfache Zusammenfassung und Verallgemeinerung der früher voneinander unabhängigen Hypothesen, auf welchen die Elektrodynamik aufgebaut war.

É preciso, porém, ressaltar que muito antes da formulação da teoria da relatividade H. A. Lorentz deu uma teoria desse fenômeno por via puramente eletrodinâmica, servindo-se de certas hipóteses sobre a estrutura eletromagnética da matéria. Mas essa circunstância não diminui em nada a força probatória do experimento como crucis a favor da teoria da relatividade. Pois a eletrodinâmica de Maxwell e Lorentz, em que se apoiava a teoria original, não está em nenhuma oposição à teoria da relatividade. Esta, ao contrário, nasceu da eletrodinâmica como uma síntese e generalização surpreendentemente simples das hipóteses, antes independentes umas das outras, sobre as quais a eletrodinâmica fora construída.

Nota do autor

[1] Fizeau fand W = w + v(1−1/n²), wobei n = c/w der Brechungsexponent der Flüssigkeit ist. Andererseits kann für (B) wegen der Kleinheit von vw/c² gegenüber 1 zunächst W = (w + v)(1−vw/c²), oder mit der gleichen Näherung w + v(1−1/n²) gesetzt werden, was mit Fizeaus Resultat übereinstimmt.

Nota do autor

[1] Fizeau achou W = w + v(1 − 1/n²), onde n = c/w é o índice de refração do líquido. Por outro lado, por ser vw/c² pequeno em comparação com 1, pode-se pôr em lugar de (B), primeiro, W = (w + v)(1 − vw/c²), ou, com a mesma aproximação, w + v(1 − 1/n²), o que concorda com o resultado de Fizeau.

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