Parte I

§ 15. Allgemeine Ergebnisse der Theorie.

15. Resultados gerais da teoria

Aus den bisherigen Darlegungen ist ersichtlich, daß die (spezielle) Relativitätstheorie aus der Elektrodynamik und Optik herausgewachsen ist. Auf diesen Gebieten hat sie an den Aussagen der Theorie nicht viel geändert, aber sie hat das theoretische Gebäude, d. h. die Ableitung der Gesetze bedeutend vereinfacht und — was noch ungleich wichtiger ist — die Zahl der voneinander unabhängigen Hypothesen, auf welchen die Theorie beruht, erheblich vermindert. Sie hat der Maxwell-Lorentzschen Theorie einen solchen Grad von Evidenz verliehen, daß diese auch dann bei den Physikern allgemein durchgedrungen wäre, wenn das Experiment weniger überzeugend zu ihren Gunsten gesprochen hätte.

Do que foi exposto até aqui se vê que a teoria da relatividade (especial) nasceu da eletrodinâmica e da ótica. Nesses domínios ela não mudou muita coisa nas afirmações da teoria, mas simplificou consideravelmente o edifício teórico, isto é, a dedução das leis, e — o que é incomparavelmente mais importante — reduziu muito o número das hipóteses independentes umas das outras em que a teoria se apoia. Deu à teoria de Maxwell e Lorentz um grau tal de evidência que ela teria se imposto em geral entre os físicos mesmo que o experimento tivesse falado a seu favor de modo menos convincente.

Die klassische Mechanik bedurfte erst einer Modifikation, um mit der Forderung der speziellen Relativitätstheorie in Einklang zu kommen. Diese Modifikation betrifft jedoch im wesentlichen nur die Gesetze für rasche Bewegungen, bei welchen die Geschwindigkeiten v der Materie gegenüber der Lichtgeschwindigkeit nicht gar zu klein sind. So rasche Bewegungen zeigt uns die Erfahrung nur an Elektronen und Ionen; bei anderen Bewegungen sind die Abweichungen von den Gesetzen der klassischen Mechanik zu gering, um sich praktisch bemerkbar zu machen. Von der Bewegung der Gestirne wird erst bei der allgemeinen Relativitätstheorie zu sprechen sein. Nach der Relativitätstheorie wird die kinetische Energie eines materiellen Punktes von der Masse m nicht mehr durch den bekannten Ausdruck

A mecânica clássica precisou primeiro de uma modificação para se pôr de acordo com a exigência da teoria da relatividade especial. Essa modificação, porém, diz respeito no essencial só às leis dos movimentos rápidos, em que as velocidades v da matéria não são pequenas demais em comparação com a velocidade da luz. Movimentos tão rápidos a experiência só nos mostra em elétrons e íons; nos outros movimentos, os desvios em relação às leis da mecânica clássica são pequenos demais para se fazerem notar na prática. Do movimento dos astros só se poderá falar com a teoria da relatividade geral. Segundo a teoria da relatividade, a energia cinética de um ponto material de massa m já não é dada pela expressão conhecida

m v²/2

gegeben, sondern durch den Ausdruck:

mas pela expressão:

mc² / √(1 − v²/c²).

Dieser Ausdruck wird unendlich, wenn sich die Geschwindigkeit v der Lichtgeschwindigkeit c nähert. Es muß also die Geschwindigkeit stets kleiner als c bleiben, wie große Energien man auch auf die Beschleunigung verwenden mag. Entwickelt man den Ausdruck für die kinetische Theorie in eine Reihe, so erhält man:

Essa expressão se torna infinita quando a velocidade v se aproxima da velocidade da luz c. A velocidade, portanto, tem de ficar sempre menor que c, por maiores que sejam as energias que se empreguem para acelerar o corpo. Desenvolvendo em série a expressão da energia cinética, obtém-se:

mc² + m v²/2 + (3/8) m v⁴/c² + …

Das dritte dieser Glieder ist gegenüber dem zweiten, in der klassischen Mechanik allein berücksichtigten, stets klein, wenn v²/c² klein gegen 1 ist. Das erste Glied mc² enthält die Geschwindigkeit nicht, kommt also nicht in Betracht, wenn es sich nur um die Frage handelt, wie die Energie eines Massenpunktes von der Geschwindigkeit abhängt. Über seine prinzipielle Bedeutung wird nachher gesprochen werden.

O terceiro desses termos é sempre pequeno em comparação com o segundo, o único que se leva em conta na mecânica clássica, quando v²/c² é pequeno em comparação com 1. O primeiro termo, mc², não contém a velocidade, e por isso não entra em consideração quando se trata só de saber como a energia de um ponto material depende da velocidade. Do seu significado de princípio se falará mais adiante.

Das wichtigste Ergebnis allgemeiner Art, zu dem die spezielle Relativitätstheorie geführt hat, betrifft den Begriff der Masse. Die vorrelativistische Physik kennt zwei Erhaltungssätze von grundlegender Bedeutung, nämlich den Satz von der Erhaltung der Energie und den Satz von der Erhaltung der Masse; diese beiden Fundamentalsätze erscheinen als ganz unabhängig voneinander. Durch die Relativitätstheorie werden sie zu einem Satze verschmolzen. Wie dies kam, und wie diese Verschmelzung aufzufassen ist, soll nun kurz dargelegt werden.

O resultado de caráter geral mais importante a que a teoria da relatividade especial levou diz respeito ao conceito de massa. A física anterior à relatividade conhece duas leis de conservação de importância fundamental, a lei da conservação da energia e a lei da conservação da massa; essas duas leis fundamentais aparecem como inteiramente independentes uma da outra. Pela teoria da relatividade, elas se fundem numa lei só. Vamos expor brevemente como se chegou a isso e como se deve entender essa fusão.

Das Relativitätsprinzip fordert, daß der Satz von der Erhaltung der Energie nicht nur bezüglich eines Koordinatensystems K gelte, sondern bezüglich eines jeden Koordinatensystems K′, das relativ zu K sich in gleichförmiger Translationsbewegung befindet (kurz gesagt, bezüglich jedes „Galileischen“ Koordinatensystems). Für den Übergang zwischen zwei solchen Systemen ist im Gegensatz zur klassischen Mechanik die Lorentz-Transformation maßgebend.

O princípio da relatividade exige que a lei da conservação da energia valha não só em relação a um sistema de coordenadas K, mas em relação a todo sistema de coordenadas K′ que esteja em movimento de translação uniforme em relação a K (em poucas palavras, em relação a todo sistema de coordenadas “galileano”). Para a passagem entre dois sistemas desses, o que vale, ao contrário da mecânica clássica, é a transformação de Lorentz.

Aus diesen Prämissen in Verbindung mit den Grundgleichungen der Maxwellschen Elektrodynamik kann man mit zwingender Notwendigkeit durch verhältnismäßig einfache Betrachtungen folgenden Schluß ziehen: Ein mit der Geschwindigkeit v fliegender Körper, der in Form von Strahlung die Energie E₀ aufnimmt[1], ohne hierbei seine Geschwindigkeit zu ändern, erfährt dabei eine Zunahme seiner Energie um den Betrag:

Dessas premissas, junto com as equações fundamentais da eletrodinâmica de Maxwell, pode-se tirar com necessidade imperiosa, por considerações relativamente simples, a seguinte conclusão: um corpo que voa com a velocidade v e que absorve sob a forma de radiação a energia E₀[1], sem mudar com isso a sua velocidade, sofre um aumento da sua energia no valor de:

E₀ / √(1 − v²/c²).

Die gesuchte Energie des Körpers ist also dann mit Rücksicht auf den vorher angegebenen Ausdruck für die kinetische Energie gegeben durch:

Levando em conta a expressão da energia cinética dada acima, a energia procurada do corpo é então dada por:

(m + E₀/c²) c² / √(1 − v²/c²).

Der Körper hat also dann dieselbe Energie wie ein mit der Geschwindigkeit v bewegter Körper von der Masse m + E₀ / c². Man kann also sagen: Nimmt ein Körper die Energie E₀ auf, so wächst seine träge Masse um E₀/c²; die träge Masse eines Körpers ist keine Konstante, sondern nach Maßgabe seiner Energieänderung veränderlich. Die träge Masse eines Körpersystems kann geradezu als Maß für seine Energie angesehen werden. Der Satz von der Erhaltung der Masse eines Systems fällt mit dem Satze von der Erhaltung der Energie zusammen und gilt nur insoweit, als das System keine Energie aufnimmt und abgibt. Schreibt man den Ausdruck für die Energie in der Form

O corpo tem, portanto, a mesma energia que um corpo de massa m + E₀/c² que se movesse com a velocidade v. Pode-se então dizer: se um corpo absorve a energia E₀, a sua massa inercial cresce E₀/c²; a massa inercial de um corpo não é uma constante, mas varia conforme a variação da sua energia. A massa inercial de um sistema de corpos pode mesmo ser considerada a medida da sua energia. A lei da conservação da massa de um sistema coincide com a lei da conservação da energia e só vale na medida em que o sistema não absorve nem cede energia. Se se escreve a expressão da energia na forma

(mc² + E₀) / √(1 − v²/c²)

so sieht man, daß die Form mc², die uns schon vorhin auffiel, nichts anderes ist als die Energie, welche der Körper schon besaß[2], bevor er die Energie E₀ aufgenommen hatte.

vê-se que o termo mc², que já nos chamou a atenção há pouco, não é outra coisa senão a energia que o corpo já possuía[2] antes de absorver a energia E₀.

Der direkte Vergleich dieses Satzes mit der Erfahrung scheitert vorläufig daran, daß die Energieänderungen E₀, welche wir einem System erteilen können, nicht groß genug sind, um sich als Änderung der trägen Masse des Systems bemerkbar zu machen. E₀/c² ist zu klein im Vergleich zu der Masse m, die vor der Energieänderung vorhanden war. Auf diesem Umstande beruht es, daß ein Satz von der Erhaltung der Masse von selbständiger Geltung mit Erfolg aufgestellt werden konnte.

A comparação direta dessa lei com a experiência por enquanto esbarra no fato de que as variações de energia E₀ que podemos comunicar a um sistema não são grandes o bastante para se fazerem notar como variação da massa inercial do sistema. E₀/c² é pequeno demais em comparação com a massa m que havia antes da variação de energia. É graças a essa circunstância que se pôde estabelecer com sucesso uma lei da conservação da massa de validade independente.

Noch eine letzte Bemerkung prinzipieller Natur. Der Erfolg der Faraday-Maxwellschen Deutung der elektromagnetischen Fernwirkung durch intermediäre Vorgänge mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit brachte es mit sich, daß bei den Physikern sich die Überzeugung Bahn brach, daß es unvermittelte, momentane Fernwirkungen vom Typus des Newtonschen Gravitationsgesetzes nicht gebe. Nach der Relativitätstheorie tritt an die Stelle der Momentanwirkung in die Ferne bzw. der Fernwirkung mit unendlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit stets die Fernwirkung mit Lichtgeschwindigkeit. Es hängt dies zusammen mit der prinzipiellen Rolle, welche die Geschwindigkeit c in dieser Theorie spielt. Im zweiten Teile wird sich zeigen, in welcher Weise dies Ergebnis in der allgemeinen Relativitätstheorie modifiziert wird.

Uma última observação, de natureza fundamental. O sucesso da interpretação de Faraday e Maxwell para a ação eletromagnética a distância, por meio de processos intermediários com velocidade de propagação finita, fez que entre os físicos se firmasse a convicção de que não existem ações a distância imediatas e instantâneas do tipo da lei da gravitação de Newton. Segundo a teoria da relatividade, em lugar da ação instantânea a distância, ou da ação a distância com velocidade de propagação infinita, aparece sempre a ação a distância com a velocidade da luz. Isso está ligado ao papel fundamental que a velocidade c tem nessa teoria. Na segunda parte se verá de que maneira esse resultado é modificado na teoria da relatividade geral.

Notas do autor

[1] E₀ ist die aufgenommene Energie, von einem mit dem Körper bewegten Koordinatensystem aus beurteilt.

[2] Von einem mitbewegten Koordinatensystem aus beurteilt.

Notas do autor

[1] E₀ é a energia absorvida, julgada a partir de um sistema de coordenadas que se move com o corpo.

[2] Julgado a partir de um sistema de coordenadas que se move com o corpo.

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