Parte I

§ 17. Minkowskis vierdimensionaler Raum.

17. O espaço quadridimensional de Minkowski

As palavras sublinhadas têm nota: toque para ver o sentido.

Ein mystischer Schauer ergreift den Nichtmathematiker, wenn er von „vierdimensional“ hört, ein Gefühl, das dem vom Theatergespenst erzeugten nicht unähnlich ist. Und doch ist keine Aussage banaler als die, daß unsere gewohnte Welt ein vierdimensionales zeiträumliches Kontinuum ist.

Um arrepio místico toma conta do não matemático quando ouve falar de “quadridimensional”, um sentimento não muito diferente do que provoca um fantasma no teatro. E, no entanto, não há afirmação mais banal que a de que o nosso mundo habitual é um contínuo espaço-temporal de quatro dimensões.

Der Raum ist ein dreidimensionales Kontinuum. Dies will sagen, daß es möglich ist, die Lage eines (ruhenden) Punktes durch drei Zahlen (Koordinaten), x, y, z, zu beschreiben, und daß es zu jedem Punkte beliebig „benachbarte“ Punkte gibt, deren Lage durch solche Koordinatenwerte (Koordinaten) x₁, y₁, z₁ beschrieben werden kann, die den Koordinaten x, y, z des erstgenannten beliebig nahe kommen. Wegen der letzteren Eigenschaft sprechen wir von „Kontinuum“, wegen der Dreizahl der Koordinaten von „dreidimensional“.

O espaço é um contínuo de três dimensões. Isso quer dizer que é possível descrever a posição de um ponto (em repouso) por três números (coordenadas) x, y, z, e que para cada ponto há pontos “vizinhos” tão próximos quanto se queira, cuja posição pode ser descrita por valores de coordenadas (coordenadas) x₁, y₁, z₁ tão próximos quanto se queira das coordenadas x, y, z do primeiro. Por esta última propriedade falamos de “contínuo”; pelo número três das coordenadas, de “tridimensional”.

Analog ist die Welt des physikalischen Geschehens, von Minkowski kurz „Welt“ genannt, natürlich vierdimensional in zeiträumlichem Sinne. Denn sie setzt sich aus Einzelereignissen zusammen, deren jedes durch vier Zahlen, nämlich drei räumliche Koordinaten x, y, z und eine zeitliche Koordinate, den Zeitwert t beschrieben ist. Die „Welt“ ist in diesem Sinne auch ein Kontinuum; denn es gibt zu jedem Ereignis beliebig „benachbarte“ (realisierte oder doch denkbare) Ereignisse, deren Koordinaten x₁, y₁, z₁, t₁ sich von denen des ursprünglich betrachteten Ereignisses x, y, z, t beliebig wenig unterscheiden. Daß wir nicht daran gewöhnt sind, die Welt in diesem Sinne als vierdimensionales Kontinuum aufzufassen, liegt daran, daß die Zeit in der vorrelativistischen Physik gegenüber den räumlichen Koordinaten eine verschiedene, mehr selbständige Rolle spielt. Darum haben wir uns daran gewöhnt, die Zeit als ein selbständiges Kontinuum zu behandeln. In der Tat ist die Zeit gemäß der klassischen Physik absolut, d. h. von der Lage und dem Bewegungszustande des Bezugssystems unabhängig. Dies kommt in der letzten Gleichung der Galilei-Transformation (t′ = t) zum Ausdruck.

Do mesmo modo, o mundo dos acontecimentos físicos, que Minkowski chamou simplesmente “mundo”, é naturalmente quadridimensional no sentido espaço-temporal. Pois se compõe de acontecimentos individuais, cada um dos quais é descrito por quatro números, a saber, três coordenadas espaciais x, y, z e uma coordenada temporal, o valor de tempo t. O “mundo” também é um contínuo nesse sentido; pois para cada acontecimento há acontecimentos “vizinhos” tão próximos quanto se queira (realizados, ou pelo menos concebíveis), cujas coordenadas x₁, y₁, z₁, t₁ diferem tão pouco quanto se queira das do acontecimento considerado de início, x, y, z, t. Se não estamos acostumados a conceber o mundo nesse sentido como um contínuo quadridimensional, é porque na física anterior à relatividade o tempo tem, em face das coordenadas espaciais, um papel diferente, mais independente. Por isso nos acostumamos a tratar o tempo como um contínuo independente. De fato, segundo a física clássica o tempo é absoluto, isto é, independente da posição e do estado de movimento do sistema de referência. Isso se exprime na última equação da transformação de Galileu (t′ = t).

Durch die Relativitätstheorie ist die vierdimensionale Betrachtungsweise der „Welt“ geboten, da ja gemäß dieser Theorie die Zeit ihrer Selbständigkeit beraubt wird, wie die vierte der Gleichungen der Lorentz-Transformation

Pela teoria da relatividade, impõe-se a consideração quadridimensional do “mundo”, porque segundo essa teoria o tempo é privado da sua independência, como ensina a quarta das equações da transformação de Lorentz:

t′ = (t − (v/c²) x) / √(1 − v²/c²)

lehrt. Denn nach dieser Gleichung verschwindet die Zeitdifferenz Δt′ zweier Ereignisse in bezug auf K′ auch dann im allgemeinen nicht, wenn die Zeitdifferenz Δt derselben in bezug auf K verschwindet. Rein räumliche Distanz zweier Ereignisse in bezug auf K hat zeitliche Distanz derselben in bezug auf K′ zur Folge. Auch hierin liegt nicht Minkowskis für die formale Entwicklung der Relativitätstheorie wichtige Entdeckung. Diese liegt vielmehr in der Erkenntnis, daß das vierdimensionale zeiträumliche Kontinuum der Relativitätstheorie in seinen maßgebenden formalen Eigenschaften die weitgehendste Verwandtschaft zeigt zu dem dreidimensionalen Kontinuum des Euklidischen geometrischen Raumes[1]. Um diese Verwandtschaft ganz hervortreten zu lassen, muß man allerdings statt der üblichen Zeitkoordinate t die ihr proportionale imaginäre Größe √−1 ct einführen. Dann aber nehmen die den Forderungen der (speziellen) Relativitätstheorie genügenden Naturgesetze mathematische Formen an, in denen die Zeitkoordinate genau dieselbe Rolle spielt wie die drei räumlichen Koordinaten. Diese vier Koordinaten entsprechen formal genau den drei räumlichen Koordinaten der Euklidischen Geometrie. Es muß auch dem Nichtmathematiker einleuchten, daß durch diese rein formale Erkenntnis die Theorie außerordentlich an Übersichtlichkeit gewinnen mußte.

Pois, segundo essa equação, a diferença de tempo Δt′ entre dois acontecimentos em relação a K′ em geral não se anula mesmo quando se anula a diferença de tempo Δt entre eles em relação a K. Uma distância puramente espacial entre dois acontecimentos em relação a K acarreta uma distância temporal entre eles em relação a K′. Mas não é nisso que está a descoberta de Minkowski, importante para o desenvolvimento formal da teoria da relatividade. Ela está, antes, no reconhecimento de que o contínuo espaço-temporal quadridimensional da teoria da relatividade, nas suas propriedades formais decisivas, mostra o mais estreito parentesco com o contínuo tridimensional do espaço geométrico euclidiano[1]. Para fazer aparecer esse parentesco por inteiro, é preciso, é verdade, introduzir em lugar da coordenada de tempo usual t a grandeza imaginária √−1 ct, que lhe é proporcional. Então, porém, as leis da natureza que satisfazem as exigências da teoria da relatividade (especial) tomam formas matemáticas em que a coordenada de tempo tem exatamente o mesmo papel que as três coordenadas espaciais. Essas quatro coordenadas correspondem formalmente com exatidão às três coordenadas espaciais da geometria euclidiana. Até o não matemático há de perceber que, com esse reconhecimento puramente formal, a teoria tinha de ganhar extraordinariamente em clareza de conjunto.

Diese dürftigen Andeutungen geben dem Leser nur eine vage Idee von dem wichtigen Gedanken Minkowskis, ohne den die im folgenden in ihren Grundgedanken entwickelte allgemeine Relativitätstheorie vielleicht in den Windeln stecken geblieben wäre. Da aber ein exakteres Erfassen dieses für den mathematisch nichtgeübten Leser zweifellos schwer zugänglichen Gegenstandes für das Verständnis der Grundgedanken weder der speziellen noch der allgemeinen Relativitätstheorie nötig ist, so will ich denselben hier verlassen, um erst in den letzten Darlegungen dieses Büchleins wieder darauf zurückzukommen.

Estas indicações pobres dão ao leitor apenas uma ideia vaga do importante pensamento de Minkowski, sem o qual a teoria da relatividade geral, cujas ideias fundamentais vamos desenvolver a seguir, talvez não tivesse saído dos . Mas, como uma compreensão mais exata desse assunto, sem dúvida de difícil acesso para o leitor sem prática de matemática, não é necessária para entender as ideias fundamentais nem da teoria da relatividade especial nem da geral, quero deixá-lo aqui, para só voltar a ele nas últimas exposições deste livrinho.

Nota do autor

[1] Vgl. die etwas ausführlichere Darlegung im Anhang.

Nota do autor

[1] Ver a exposição um pouco mais detalhada no Apêndice.

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