Parte II
§ 20. Die Gleichheit der trägen und schweren Masse als Argument für das allgemeine Relativitätspostulat.
20. A igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional como argumento a favor do postulado da relatividade geral
Wir denken uns ein geräumiges Stück leeren Weltraumes, so weit weg von Sternen und erheblichen Massen, daß wir mit erheblicher Genauigkeit den Fall vor uns haben, der im Galileischen Grundgesetz vorgesehen ist. Es ist dann möglich, für diesen Teil Welt einen Galileischen Bezugskörper zu wählen, relativ zu welchem ruhende Punkte ruhend bleiben, bewegte dauernd in geradlinig gleichförmiger Bewegung verharren. Als Bezugskörper denken wir uns einen geräumigen Kasten von der Gestalt eines Zimmers; darin befinde sich ein mit Apparaten ausgestatteter Beobachter. Für diesen gibt es natürlich keine Schwere. Er muß sich mit Schnüren am Boden befestigen, wenn er nicht beim leisesten Stoß gegen den Boden langsam gegen die Decke des Zimmers entschweben will.
Imaginemos um amplo trecho de espaço vazio, tão longe de estrelas e de massas consideráveis que tenhamos diante de nós, com bastante exatidão, o caso previsto na lei fundamental de Galileu. Para essa parte do universo, é então possível escolher um corpo de referência galileano em relação ao qual os pontos em repouso permaneçam em repouso e os que estão em movimento persistam sempre em movimento retilíneo uniforme. Como corpo de referência, imaginemos uma caixa ampla com a forma de um quarto; dentro dela há um observador provido de aparelhos. Para ele, naturalmente, não existe gravidade. Ele tem de se prender ao chão com cordas, se não quiser, ao menor choque contra o chão, flutuar devagar até o teto do quarto.
In der Mitte der Kastendecke sei außen ein Haken mit Seil befestigt und an diesem fange nun ein Wesen von uns gleichgültiger Art mit konstanter Kraft zu ziehen an. Dann beginnt der Kasten samt dem Beobachter in gleichförmig beschleunigtem Fluge nach „oben“ zu fliegen. Seine Geschwindigkeit wird im Laufe der Zeit ins Phantastische zunehmen — falls wir all dies beurteilen von einem anderen Bezugskörper aus, an dem nicht mit einem Stricke gezogen wird.
No meio do teto da caixa, do lado de fora, há um gancho com uma corda, e nela começa agora a puxar com força constante um ser de natureza que não nos interessa. A caixa, com o observador, começa então a voar “para cima” em movimento uniformemente acelerado. A sua velocidade crescerá com o tempo até valores fantásticos — se julgarmos tudo isso a partir de outro corpo de referência, em que ninguém puxa por uma corda.
Wie beurteilt aber der Mann im Kasten den Vorgang? Die Beschleunigung des Kastens wird vom Boden desselben durch Gegendruck auf ihn übertragen. Er muß also diesen Druck mittels seiner Beine aufnehmen, wenn er nicht seiner ganzen Länge nach den Boden berühren will. Er steht dann im Kasten genau wie einer in einem Zimmer eines Hauses auf unserer Erde steht. Läßt er einen Körper los, den er vorher in der Hand hatte, so wird auf diesen die Beschleunigung des Kastens nicht mehr übertragen; der Körper wird sich daher in beschleunigter Relativbewegung dem Boden des Kastens nähern. Der Beobachter wird sich ferner überzeugen, daß die Beschleunigung des Körpers gegen den Boden immer gleich groß ist, mit was für einem Körper er auch den Versuch ausführen mag.
Mas como o homem na caixa julga o processo? A aceleração da caixa é transmitida a ele pelo chão, por pressão contrária. Ele tem, portanto, de receber essa pressão com as pernas, se não quiser tocar o chão com o corpo inteiro. Fica então de pé na caixa exatamente como alguém fica de pé num quarto de uma casa na nossa Terra. Se ele solta um corpo que tinha na mão, a aceleração da caixa deixa de ser transmitida a esse corpo; por isso o corpo se aproximará do chão da caixa em movimento relativo acelerado. O observador se convencerá também de que a aceleração do corpo em relação ao chão é sempre do mesmo tamanho, qualquer que seja o corpo com que faça a experiência.
Der Mann im Kasten wird also, gestützt auf seine Kenntnisse vom Schwerefelde, wie wir sie im letzten Paragraphen besprochen, zu dem Ergebnis kommen, daß er samt dem Kasten sich in einem zeitlich konstanten Schwerefelde befinde. Er wird allerdings einen Augenblick verwundert sein darüber, daß der Kasten in diesem Schwerefelde nicht falle. Da entdeckt er aber den Haken in der Mitte der Decke und das an demselben befestigte gespannte Seil, und er kommt folgerichtig zu dem Ergebnis, daß der Kasten in dem Schwerefelde ruhend aufgehängt sei.
O homem na caixa, apoiado nos seus conhecimentos sobre o campo de gravidade, tais como os discutimos no último parágrafo, chegará, portanto, à conclusão de que ele e a caixa se encontram num campo de gravidade constante no tempo. Ficará, é verdade, surpreso por um instante de que a caixa não caia nesse campo de gravidade. Mas aí descobre o gancho no meio do teto e a corda esticada presa nele, e chega com toda a coerência à conclusão de que a caixa está suspensa em repouso no campo de gravidade.
Dürfen wir über den Mann lächeln und sagen, er befinde sich mit seiner Auffassung im Irrtum? Ich glaube, wir dürfen das nicht, wenn wir konsequent bleiben wollen, sondern wir müssen zugeben, daß seine Auffassungsweise weder gegen die Vernunft noch gegen die bekannten mechanischen Gesetze verstößt. Wir können den Kasten, wenn er auch gegen den zuerst betrachteten „Galileischen Raum“ beschleunigt ist, dennoch als ruhend ansehen. Wir haben also guten Grund, das Relativitätsprinzip auszudehnen auf relativ zueinander beschleunigte Bezugskörper und haben so ein kräftiges Argument für ein verallgemeinertes Relativitätspostulat gewonnen.
Podemos sorrir do homem e dizer que ele está enganado na sua concepção? Creio que não podemos, se quisermos ser coerentes; temos de admitir que o seu modo de ver não vai contra a razão nem contra as leis conhecidas da mecânica. Podemos considerar a caixa em repouso, embora ela esteja acelerada em relação ao “espaço galileano” que consideramos primeiro. Temos, portanto, boas razões para estender o princípio da relatividade a corpos de referência acelerados uns em relação aos outros, e ganhamos assim um argumento forte a favor de um postulado da relatividade generalizado.
Man beachte wohl, daß die Möglichkeit dieser Auffassungsweise auf der fundamentalen Eigenschaft des Schwerefeldes beruht, allen Körpern dieselbe Beschleunigung zu erteilen, oder, was dasselbe bedeutet, auf dem Satz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse. Würde dies Naturgesetz nicht bestehen, so würde der Mann im beschleunigten Kasten das Verhalten der Körper seiner Umgebung nicht durch die Voraussetzung eines Gravitationsfeldes deuten können, und er wäre auf Grund keiner Erfahrung berechtigt, seinen Bezugskörper als einen „ruhenden“ vorauszusetzen.
Note-se bem que a possibilidade desse modo de ver repousa na propriedade fundamental do campo de gravidade de comunicar a mesma aceleração a todos os corpos, ou, o que é o mesmo, na proposição da igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional. Se não existisse essa lei da natureza, o homem na caixa acelerada não poderia interpretar o comportamento dos corpos à sua volta pela suposição de um campo gravitacional, e nenhuma experiência lhe daria o direito de supor que o seu corpo de referência está “em repouso”.
Der Mann im Kasten befestige an der Innenseite der Kastendecke ein Seil und an dessen freiem Ende einen Körper. Durch diesen wird bewirkt werden, daß das Seil in gespanntem Zustande „vertikal“ herabhängt. Wir fragen nach der Ursache der Spannung des Seiles. Der Mann im Kasten wird sagen: „Der aufgehängte Körper erfährt in dem Schwerefelde eine Kraft nach unten, welcher durch die Seilspannung das Gleichgewicht gehalten wird; maßgebend für die Größe der Seilspannung ist die schwere Masse des aufgehängten Körpers.“ Andererseits wird aber ein Beurteiler, der frei im Raume schwebt, den Zustand so beurteilen: „Das Seil ist gezwungen, die beschleunigte Bewegung des Kastens mitzumachen und überträgt diese auf den daran befestigten Körper. Die Seilspannung ist so groß, daß sie die Beschleunigung des letzteren gerade zu bewirken vermag. Maßgebend für die Größe der Spannung im Seile ist die träge Masse des Körpers.“ Wir sehen aus diesem Beispiele, daß unsere Erweiterung des Relativitätsprinzips den Satz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse als notwendig erscheinen läßt. Damit ist eine physikalische Interpretation dieses Satzes gewonnen.
O homem na caixa prende uma corda no lado de dentro do teto e, na ponta livre, um corpo. Este fará que a corda fique pendurada esticada, “na vertical”. Perguntamos pela causa da tensão da corda. O homem na caixa dirá: “O corpo pendurado sofre no campo de gravidade uma força para baixo, equilibrada pela tensão da corda; o que determina o tamanho da tensão da corda é a massa gravitacional do corpo pendurado.” Mas um observador que flutue livremente no espaço julgará a situação assim: “A corda é obrigada a acompanhar o movimento acelerado da caixa e o transmite ao corpo preso nela. A tensão da corda é justamente tão grande quanto é preciso para produzir a aceleração desse corpo. O que determina o tamanho da tensão na corda é a massa inercial do corpo.” Vemos por esse exemplo que a nossa ampliação do princípio da relatividade faz aparecer como necessária a proposição da igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional. Com isso se obtém uma interpretação física dessa proposição.
Aus der Betrachtung des beschleunigten Kastens sieht man, daß eine allgemeine Relativitätstheorie wichtige Ergebnisse über die Gesetze der Gravitation liefern muß. Tatsächlich hat die konsequente Verfolgung des allgemeinen Relativitätsgedankens die Gesetze geliefert, denen das Gravitationsfeld genügt. Ich muß jedoch schon hier den Leser vor einem Mißverständnis warnen, das durch diese Überlegungen nahegelegt wird. Für den Mann im Kasten existiert ein Gravitationsfeld, trotzdem für das zuerst gewählte Koordinatensystem ein solches nicht vorhanden war. Man könnte nun leicht meinen, daß die Existenz eines Gravitationsfeldes stets eine nur scheinbare sei. Man könnte denken, daß, was auch immer für ein Gravitationsfeld vorhanden sein mag, man immer einen anderen Bezugskörper so wählen könne, daß in bezug auf ihn kein Gravitationsfeld existiert. Dies trifft aber keineswegs für alle Gravitationsfelder zu, sondern nur für solche von ganz speziellem Bau. So ist es beispielsweise unmöglich, einen Bezugskörper so zu wählen, daß von ihm aus beurteilt das Gravitationsfeld der Erde (in seiner ganzen Ausdehnung) verschwindet.
Da consideração da caixa acelerada se vê que uma teoria da relatividade geral tem de dar resultados importantes sobre as leis da gravitação. De fato, levar com coerência adiante a ideia da relatividade geral forneceu as leis a que o campo gravitacional obedece. Mas já aqui preciso prevenir o leitor contra um mal-entendido que essas reflexões sugerem. Para o homem na caixa existe um campo gravitacional, embora para o sistema de coordenadas escolhido primeiro não houvesse campo algum. Seria fácil pensar que a existência de um campo gravitacional é sempre só aparente. Poderia parecer que, qualquer que seja o campo gravitacional existente, sempre se pode escolher outro corpo de referência de tal modo que em relação a ele não exista campo gravitacional. Isso, porém, não vale de modo nenhum para todos os campos gravitacionais, mas só para os de estrutura muito especial. É impossível, por exemplo, escolher um corpo de referência de tal modo que, julgado a partir dele, o campo gravitacional da Terra (em toda a sua extensão) desapareça.
Wir bemerken jetzt, warum das gegen das allgemeine Relativitätsprinzip am Ende des § 18 vorgebrachte Argument nicht beweisend ist. Es ist wohl richtig, daß der im gebremsten Eisenbahnwagen befindliche Beobachter infolge der Bremsung einen Ruck nach vorn empfindet und daß er daran die Ungleichförmigkeit (Beschleunigung) des Wagens merkt. Aber niemand zwingt ihn, den Ruck auf eine „wirkliche“ Beschleunigung des Wagens zurückzuführen. Er kann sein Erlebnis auch so interpretieren: „Mein Bezugskörper (der Wagen) bleibt dauernd in Ruhe. Es herrscht aber (während der Bremsungsperiode) in bezug auf denselben ein nach vorn gerichtetes, zeitlich veränderliches Schwerefeld. Unter dem Einfluß des letzteren bewegt sich der Bahndamm samt der Erde ungleichförmig derart, daß dessen ursprüngliche, nach rückwärts gerichtete Geschwindigkeit immer mehr abnimmt. Dies Schwerefeld ist es auch, welches den Ruck des Beobachters bewirkt.“
Percebemos agora por que o argumento levantado contra o princípio da relatividade geral no fim do § 18 não é conclusivo. É bem verdade que o observador que está no vagão freado sente, por causa da freada, um tranco para a frente, e que por ele percebe a não uniformidade (aceleração) do vagão. Mas ninguém o obriga a atribuir o tranco a uma aceleração “real” do vagão. Ele pode também interpretar o que viveu assim: “O meu corpo de referência (o vagão) fica sempre em repouso. Mas em relação a ele reina (durante o tempo da freada) um campo de gravidade dirigido para a frente e variável no tempo. Sob a influência deste, o leito da ferrovia, com a Terra, move-se de modo não uniforme, de tal maneira que a sua velocidade inicial, dirigida para trás, diminui cada vez mais. É esse campo de gravidade também que produz o tranco do observador.”