Parte II
§ 27. Das raum-zeitliche Kontinuum der allgemeinen Relativitätstheorie ist kein Euklidisches Kontinuum.
27. O contínuo espaço-temporal da teoria da relatividade geral não é um contínuo euclidiano
Im ersten Teil dieses Schriftchens haben wir uns raum-zeitlicher Koordinaten bedienen können, welche eine einfache, direkte physikalische Interpretation zuließen und welche sich nach § 26 als vierdimensionale Kartesische Koordinaten deuten lassen. Dies war möglich auf Grund des Gesetzes von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, an welchem aber nach § 21 die allgemeine Relativitätstheorie nicht festhalten kann; wir kamen vielmehr zu dem Ergebnis, daß gemäß letzterer Theorie die Lichtgeschwindigkeit stets von den Koordinaten abhängen muß, falls ein Gravitationsfeld vorhanden ist. Wir fanden ferner in § 23 an einem speziellen Beispiel, daß das Vorhandensein eines Gravitationsfeldes jene Definition der Koordinaten und der Zeit unmöglich macht, welche bei der speziellen Relativitätstheorie zum Ziele geführt hat.
Na primeira parte deste escrito pudemos servir-nos de coordenadas de espaço e de tempo que admitiam uma interpretação física simples e direta e que, segundo o § 26, podem ser vistas como coordenadas cartesianas de quatro dimensões. Isso foi possível graças à lei da constância da velocidade da luz, que, porém, segundo o § 21, a teoria da relatividade geral não pode manter; chegamos, ao contrário, ao resultado de que, segundo esta última teoria, a velocidade da luz tem de depender sempre das coordenadas, quando há um campo gravitacional. Achamos também, no § 23, num exemplo especial, que a existência de um campo gravitacional torna impossível aquela definição das coordenadas e do tempo que, na teoria da relatividade especial, levou ao objetivo.
Mit Rücksicht auf diese Überlegungsergebnisse kommen wir zu der Überzeugung, daß gemäß dem allgemeinen Relativitätsprinzip das raum-zeitliche Kontinuum nicht als ein Euklidisches aufgefaßt werden kann, sondern daß hier der allgemeine Fall vorliegt, welchen wir für das zweidimensionale Kontinuum der Tischplatte von örtlich variabler Temperatur kennen gelernt haben. Wie es dort unmöglich war, aus gleichen Stäbchen ein Kartesisches Koordinatensystem zu konstruieren, so ist es hier unmöglich, aus starren Körpern und Uhren ein System (Bezugskörper) aufzubauen, derart, daß relativ zueinander fest angeordnete Maßstäbe und Uhren direkt Ort und Zeit anzeigen. Dies ist das Wesen der Schwierigkeit, die uns in § 23 entgegentrat.
Em vista do resultado dessas reflexões, chegamos à convicção de que, segundo o princípio da relatividade geral, o contínuo espaço-temporal não pode ser concebido como euclidiano, e de que aqui se tem o caso geral que conhecemos no contínuo de duas dimensões do tampo da mesa com temperatura variável de lugar para lugar. Assim como lá era impossível construir com varinhas iguais um sistema de coordenadas cartesiano, aqui é impossível montar com corpos rígidos e relógios um sistema (corpo de referência) tal que réguas e relógios dispostos de modo fixo uns em relação aos outros indiquem diretamente o lugar e o tempo. É essa a essência da dificuldade que encontramos no § 23.
Die Darlegungen des § 25 und § 26 zeigen aber den Weg, auf dem diese Schwierigkeit zu überwinden ist. Wir beziehen das vierdimensionale raum-zeitliche Kontinuum in willkürlicher Weise auf Gaußsche Koordinaten. Jedem Punkte des Kontinuums (Ereignis) ordnen wir vier Zahlen x₁, x₂, x₃, x₄ (Koordinaten) zu, die gar keine unmittelbare physikalische Bedeutung besitzen, sondern nur dazu dienen, die Punkte des Kontinuums in bestimmter, aber willkürlicher Weise zu numerieren. Diese Zuordnung braucht nicht einmal eine derartige zu sein, daß man x₁, x₂, x₃ als „räumliche“ Koordinaten, x₄ als „zeitliche“ Koordinaten auffassen müßte.
Mas o que se expôs nos §§ 25 e 26 mostra o caminho para vencer essa dificuldade. Referimos o contínuo espaço-temporal de quatro dimensões, de maneira arbitrária, a coordenadas gaussianas. A cada ponto do contínuo (acontecimento) associamos quatro números x₁, x₂, x₃, x₄ (coordenadas), que não têm significado físico imediato nenhum e só servem para numerar os pontos do contínuo de maneira determinada, mas arbitrária. Essa associação nem sequer precisa ser tal que se tenha de entender x₁, x₂, x₃ como coordenadas “espaciais” e x₄ como coordenada “temporal”.
Der Leser könnte denken, daß eine derartige Beschreibung der Welt gänzlich unzulänglich wäre. Was bedeutet es, wenn ich einem Ereignis die bestimmten Koordinaten x₁, x₂, x₃, x₄ zuschreibe, wenn diese Koordinaten selbst nichts bedeuten? Bei genauerer Überlegung zeigt sich jedoch, daß diese Sorge nicht begründet ist. Betrachten wir z. B. einen beliebig bewegten materiellen Punkt! Hätte derselbe nur eine momentane Existenz ohne Dauer, so wäre er raum-zeitlich beschrieben durch ein einziges Wertsystem x₁, x₂, x₃, x₄. Seine bleibende Existenz ist also durch eine unendlich große Zahl von solchen Wertsystemen charakterisiert, deren Koordinatenwerte sich stetig aneinanderreihen; dem Massenpunkte entspricht also eine (eindimensionale) Linie im vierdimensionalen Kontinuum. Vielen bewegten Punkten entsprechen ebensowohl derartige Linien in unserem Kontinuum. Die einzigen diese Punkte betreffenden Aussagen, welche physikalische Realität beanspruchen können, sind in Wahrheit die Aussagen über Begegnungen dieser Punkte. Eine solche Begegnung äußert sich in unserer mathematischen Darstellung darin, daß die beiden Linien, welche die betreffenden Punktbewegungen darstellen, ein gewisses System x₁, x₂, x₃, x₄ von Koordinatenwerten gemeinsam haben. Daß solche Begegnungen in Wahrheit die einzigen tatsächlichen Konstatierungen zeit-räumlichen Charakters sind, die wir in physikalischen Aussagen antreffen, wird der Leser nach eingehender Überlegung ohne Zweifel zugeben.
O leitor poderia pensar que uma descrição assim do mundo seria de todo insuficiente. Que significa eu atribuir a um acontecimento as coordenadas determinadas x₁, x₂, x₃, x₄, se essas coordenadas em si mesmas não significam nada? Pensando melhor, porém, vê-se que essa preocupação não tem fundamento. Consideremos, por exemplo, um ponto material que se move de qualquer maneira! Se ele tivesse só uma existência momentânea, sem duração, seria descrito no espaço-tempo por um único sistema de valores x₁, x₂, x₃, x₄. A sua existência duradoura é caracterizada, portanto, por um número infinitamente grande de sistemas de valores desses, cujos valores de coordenadas se encadeiam de modo contínuo; ao ponto material corresponde, portanto, uma linha (de uma dimensão) no contínuo de quatro dimensões. A muitos pontos em movimento correspondem do mesmo modo linhas assim no nosso contínuo. As únicas afirmações relativas a esses pontos que podem pretender realidade física são, na verdade, as afirmações sobre os encontros desses pontos. Um encontro desses se exprime na nossa representação matemática pelo fato de as duas linhas que representam os movimentos dos pontos em questão terem em comum um certo sistema x₁, x₂, x₃, x₄ de valores de coordenadas. Que esses encontros são, na verdade, as únicas constatações efetivas de caráter espaço-temporal que encontramos nas afirmações físicas, o leitor sem dúvida o admitirá depois de uma reflexão atenta.
Wenn wir früher die Bewegung eines materiellen Punktes relativ zu einem Bezugskörper beschrieben, gaben wir nichts weiter an, als die Begegnungen dieses Punktes mit bestimmten Punkten des Bezugskörpers. Auch die zugehörigen Zeitangaben lassen sich auflösen in die Konstatierung von Begegnungen des Körpers mit Uhren, in Verbindung mit Konstatierung der Begegnung von Uhrzeigern mit bestimmten Punkten von Zifferblättern. Nicht anders ist es mit den räumlichen Messungen durch Maßstäbe, wie einiges Nachdenken zeigt.
Quando antes descrevíamos o movimento de um ponto material em relação a um corpo de referência, não indicávamos nada além dos encontros desse ponto com pontos determinados do corpo de referência. Também as indicações de tempo correspondentes podem ser decompostas na constatação de encontros do corpo com relógios, junto com a constatação do encontro dos ponteiros dos relógios com pontos determinados dos mostradores. Com as medições espaciais feitas por meio de réguas não é diferente, como mostra um pouco de reflexão.
Allgemein gilt: „Jede physikalische Beschreibung löst sich auf in eine Zahl von Aussagen, deren jede sich auf die raum-zeitliche Koinzidenz zweier Ereignisse A und B bezieht. Jede solche Aussage drückt sich in Gaußschen Koordinaten durch die Übereinstimmung der vier Koordinaten x₁, x₂, x₃, x₄ aus.“ Die Beschreibung des zeit-räumlichen Kontinuums durch Gaußsche Koordinaten ersetzt also tatsächlich die Beschreibung mit Hilfe eines Bezugskörpers vollständig, ohne an den Mängeln der letzteren Beschreibungsmethode zu kranken; sie ist nicht an den Euklidischen Charakter des darzustellenden Kontinuums gebunden.
Em geral, vale o seguinte: “Toda descrição física se decompõe numa porção de afirmações, cada uma das quais se refere à coincidência espaço-temporal de dois acontecimentos A e B. Cada uma dessas afirmações se exprime em coordenadas gaussianas pela concordância das quatro coordenadas x₁, x₂, x₃, x₄.” A descrição do contínuo espaço-temporal por coordenadas gaussianas, portanto, substitui de fato por completo a descrição com o auxílio de um corpo de referência, sem padecer das falhas deste último método de descrição; ela não está presa ao caráter euclidiano do contínuo que se quer representar.