Parte II
§ 28. Exakte Formulierung des allgemeinen Relativitätsprinzips.
28. Formulação exata do princípio da relatividade geral
Nun sind wir in der Lage, die in § 18 gegebene vorläufige Formulierung des allgemeinen Relativitätsprinzips durch eine exakte zu ersetzen. Die damalige Fassung, „Alle Bezugskörper K, K′ usw. sind für die Naturbeschreibung (Formulierung der allgemeinen Naturgesetze) gleichwertig, welches auch deren Bewegungszustand sein mag“, läßt sich nicht aufrecht erhalten, weil die Benutzung von starren Bezugskörpern bei der raum-zeitlichen Beschreibung im Sinne der bei der speziellen Relativitätstheorie befolgten Methode im allgemeinen nicht möglich ist. An die Stelle des Bezugskörpers hat das Gaußsche Koordinatensystem zu treten. Dem Grundgedanken des allgemeinen Relativitätsprinzips entspricht die Aussage: „Alle Gaußschen Koordinatensysteme sind für die Formulierung der allgemeinen Naturgesetze prinzipiell gleichwertig.“
Estamos agora em condições de substituir por uma formulação exata a formulação provisória do princípio da relatividade geral dada no § 18. A redação de então, “Todos os corpos de referência K, K′ etc. são equivalentes para a descrição da natureza (formulação das leis gerais da natureza), qualquer que seja o seu estado de movimento”, não se pode manter, porque o uso de corpos de referência rígidos na descrição espaço-temporal, no sentido do método seguido na teoria da relatividade especial, em geral não é possível. O lugar do corpo de referência tem de ser ocupado pelo sistema de coordenadas gaussiano. À ideia fundamental do princípio da relatividade geral corresponde a afirmação: “Todos os sistemas de coordenadas gaussianos são, em princípio, equivalentes para a formulação das leis gerais da natureza.”
Man kann dies allgemeine Relativitätsprinzip auch noch in einer anderen Form aussprechen, die dasselbe noch deutlicher als die naturgemäße Erweiterung des speziellen Relativitätsprinzips erkennen läßt. Nach der speziellen Relativitätstheorie gehen die die allgemeinen Naturgesetze ausdrückenden Gleichungen in Gleichungen derselben Form über, wenn man statt der Raum-Zeit-Variabeln x, y, z, t eines (Galileischen) Bezugskörpers K unter Benutzung der Lorentz-Transformation die Raum-Zeit-Variabeln x′, y′, z′, t′ eines neuen Bezugskörpers K′ einführt. Nach der allgemeinen Relativitätstheorie dagegen müssen die Gleichungen bei Anwendung beliebiger Substitutionen der Gaußschen Variabeln x₁, x₂, x₃, x₄ in Gleichungen derselben Form übergehen; denn jede Transformation (nicht nur die Lorentz-Transformation) entspricht dem Übergang eines Gaußschen Koordinatensystems in ein anderes.
Pode-se enunciar esse princípio da relatividade geral ainda de outra forma, que mostra ainda mais claramente que ele é a ampliação natural do princípio da relatividade especial. Segundo a teoria da relatividade especial, as equações que exprimem as leis gerais da natureza se transformam em equações da mesma forma quando, em lugar das variáveis de espaço e tempo x, y, z, t de um corpo de referência (galileano) K, se introduzem, usando a transformação de Lorentz, as variáveis de espaço e tempo x′, y′, z′, t′ de um novo corpo de referência K′. Segundo a teoria da relatividade geral, ao contrário, as equações têm de se transformar em equações da mesma forma ao se aplicarem substituições quaisquer das variáveis gaussianas x₁, x₂, x₃, x₄; pois toda transformação (não só a transformação de Lorentz) corresponde à passagem de um sistema de coordenadas gaussiano a outro.
Will man auf die gewohnte dreidimensionale Anschauung nicht verzichten, so kann man die Entwicklung, welche wir den Grundgedanken der allgemeinen Relativitätstheorie durchmachen sehen, wie folgt charakterisieren: Die spezielle Relativitätstheorie bezieht sich auf Galileische Gebiete, d. h. auf solche, in welchen kein Gravitationsfeld existiert. Als Bezugskörper dient dabei ein Galileischer Bezugskörper, d. h. ein starrer Körper von so gewähltem Bewegungszustande, daß relativ zu ihm der Galileische Satz von der gleichförmig-geradlinigen Bewegung „isolierter“ materieller Punkte gilt.
Se não se quiser renunciar à intuição habitual de três dimensões, pode-se caracterizar assim a evolução que vemos as ideias fundamentais da teoria da relatividade geral percorrer: a teoria da relatividade especial se refere a regiões galileanas, isto é, a regiões em que não existe campo gravitacional. Serve de corpo de referência, nesse caso, um corpo de referência galileano, isto é, um corpo rígido de estado de movimento escolhido de tal modo que em relação a ele vale a proposição de Galileu sobre o movimento retilíneo uniforme dos pontos materiais “isolados”.
Gewisse Überlegungen legen es nahe, dieselben Galileischen Gebiete auch auf Nicht-Galileische Bezugskörper zu beziehen. Relativ zu diesen ist dann ein Gravitationsfeld von spezieller Art vorhanden (§ 20 und § 23).
Certas reflexões sugerem referir essas mesmas regiões galileanas também a corpos de referência não galileanos. Em relação a estes há então um campo gravitacional de tipo especial (§§ 20 e 23).
Starre Körper mit Euklidischen Eigenschaften gibt es aber in Gravitationsfeldern nicht; die Fiktion des starren Bezugskörpers versagt daher in der allgemeinen Relativitätstheorie. Auch wird der Gang der Uhren von Gravitationsfeldern beeinflußt, derart, daß eine physikalische Zeitdefinition direkt mit Hilfe von Uhren durchaus nicht jenen Grad der Evidenz hat wie in der speziellen Relativitätstheorie.
Mas nos campos gravitacionais não existem corpos rígidos com propriedades euclidianas; por isso a ficção do corpo de referência rígido falha na teoria da relatividade geral. Também o andamento dos relógios é influenciado pelos campos gravitacionais, de tal modo que uma definição física do tempo feita diretamente com o auxílio de relógios não tem de maneira nenhuma o grau de evidência que tem na teoria da relatividade especial.
Man benutzt daher nichtstarre Bezugskörper, welche nicht nur als Ganzes beliebig bewegt sind, sondern auch während ihrer Bewegung beliebige Gestaltsänderungen erleiden. Zur Definition der Zeit dienen Uhren von beliebigem, noch so unregelmäßigem Ganggesetz, welche man sich je an einem Punkte des nichtstarren Bezugskörpers befestigt zu denken hat, und welche nur die eine Bedingung erfüllen, daß die gleichzeitig wahrnehmbaren Angaben örtlich benachbarter Uhren unendlich wenig voneinander abweichen. Dieser nichtstarre Bezugskörper, den man nicht mit Unrecht als „Bezugsmolluske“ bezeichnen könnte, ist im wesentlichen gleichwertig mit einem beliebigen Gaußschen vierdimensionalen Koordinatensystem. Was der „Molluske“ gegenüber dem Gaußschen Koordinatensystem eine gewisse Anschaulichkeit gibt, ist die (eigentlich unberechtigte) formale Wahrung der Sonderexistenz der räumlichen Koordinaten gegenüber der Zeitkoordinate. Jeder Punkt der Molluske wird als Raumpunkt behandelt, jeder relativ zu ihm ruhende materielle Punkt schlechthin als ruhend, solange die Molluske als Bezugskörper behandelt wird. Das allgemeine Relativitätsprinzip fordert, daß alle diese Mollusken mit gleichem Rechte und gleichem Erfolge bei der Formulierung der allgemeinen Naturgesetze als Bezugskörper verwendet werden können; die Gesetze sollen von der Molluskenwahl gänzlich unabhängig sein.
Por isso se usam corpos de referência não rígidos, que não só se movem como um todo de qualquer maneira, mas também sofrem, durante o movimento, mudanças de forma quaisquer. Para definir o tempo servem relógios de lei de andamento qualquer, por mais irregular que seja, que se devem imaginar presos cada um a um ponto do corpo de referência não rígido e que só satisfazem uma condição: que as indicações percebidas simultaneamente em relógios vizinhos no espaço difiram infinitamente pouco umas das outras. Esse corpo de referência não rígido, que não sem razão se poderia chamar “molusco de referência”, equivale no essencial a um sistema de coordenadas gaussiano qualquer, de quatro dimensões. O que dá ao “molusco”, em face do sistema de coordenadas gaussiano, certa qualidade intuitiva é a manutenção formal (a rigor injustificada) da existência à parte das coordenadas espaciais em face da coordenada de tempo. Cada ponto do molusco é tratado como ponto do espaço, e cada ponto material em repouso em relação a ele simplesmente como em repouso, enquanto o molusco for tratado como corpo de referência. O princípio da relatividade geral exige que todos esses moluscos possam ser usados como corpos de referência, com o mesmo direito e o mesmo sucesso, na formulação das leis gerais da natureza; as leis devem ser de todo independentes da escolha do molusco.
In der weitgehenden Beschränkung, welche hierdurch den Naturgesetzen auferlegt wird, liegt die Spürkraft, die dem allgemeinen Relativitätsprinzip innewohnt.
Na restrição de longo alcance que isso impõe às leis da natureza está o poder de descoberta que é próprio do princípio da relatividade geral.