Parte II
§ 29. Die Lösung des Gravitationsproblems auf Grund des allgemeinen Relativitätsprinzips.
29. A solução do problema da gravitação com base no princípio da relatividade geral
Ist der Leser allen bisherigen Überlegungen gefolgt, so bereitet ihm das Verstehen der zur Lösung des Gravitationsproblems führenden Methoden keine Schwierigkeiten mehr.
Se o leitor acompanhou todas as reflexões até aqui, não terá mais dificuldade em entender os métodos que levam à solução do problema da gravitação.
Wir gehen aus von der Betrachtung eines Galileischen Gebietes, d. h. eines solchen, in welchem relativ zum Galileischen Bezugskörper K kein Gravitationsfeld existiert. Das Verhalten von Maßstäben und Uhren in bezug auf K ist aus der speziellen Relativitätstheorie bekannt, ebenso das Verhalten von „isolierten“ Massepunkten; letztere bewegen sich geradlinig und gleichförmig.
Partimos da consideração de uma região galileana, isto é, de uma região em que não existe campo gravitacional em relação ao corpo de referência galileano K. O comportamento das réguas e dos relógios em relação a K é conhecido pela teoria da relatividade especial, assim como o comportamento dos pontos materiais “isolados”; estes se movem em linha reta e com velocidade uniforme.
Nun beziehen wir dies Gebiet auf ein beliebiges Gaußsches Koordinatensystem bzw. auf eine „Molluske“ als Bezugskörper K′. In bezug auf K′ besteht dann ein Gravitationsfeld G (besonderer Art). Durch bloße Umrechnung erfährt man dann das Verhalten von Maßstäben und Uhren sowie von frei beweglichen materiellen Punkten in bezug auf K′. Dies Verhalten interpretiert man als das Verhalten von Maßstäben, Uhren, materiellen Punkten unter der Wirkung des Gravitationsfeldes G. Man führt hierauf die Hypothese ein, daß die Einwirkung des Gravitationsfeldes auf Maßstäbe, Uhren und frei bewegliche, materielle Punkte auch dann nach denselben Gesetzen vor sich gehe, wenn sich das herrschende Gravitationsfeld nicht durch bloße Koordinatentransformation aus dem Galileischen Spezialfall ableiten läßt.
Referimos agora essa região a um sistema de coordenadas gaussiano qualquer, ou a um “molusco” como corpo de referência K′. Em relação a K′ existe então um campo gravitacional G (de tipo especial). Por simples conversão de coordenadas fica-se sabendo então o comportamento das réguas e dos relógios, assim como dos pontos materiais que se movem livremente, em relação a K′. Esse comportamento é interpretado como o comportamento das réguas, dos relógios e dos pontos materiais sob a ação do campo gravitacional G. Introduz-se em seguida a hipótese de que a ação do campo gravitacional sobre réguas, relógios e pontos materiais que se movem livremente segue as mesmas leis também quando o campo gravitacional reinante não pode ser deduzido do caso especial galileano por simples transformação de coordenadas.
Hierauf untersucht man das raum-zeitliche Verhalten des aus dem Galileischen Spezialfall durch bloße Transformation der Koordinaten abgeleiteten Gravitationsfeldes G und formuliert dies Verhalten durch ein Gesetz, das immer gültig ist, wie auch der zur Beschreibung benutzte Bezugskörper (Molluske) gewählt werden mag.
Em seguida, investiga-se o comportamento espaço-temporal do campo gravitacional G deduzido do caso especial galileano por simples transformação das coordenadas, e formula-se esse comportamento por uma lei que vale sempre, qualquer que seja o corpo de referência (molusco) escolhido para a descrição.
Dies Gesetz ist noch nicht das allgemeine Gesetz des Gravitationsfeldes, da das studierte Gravitationsfeld G von spezieller Art ist. Zur Auffindung des allgemeinen Feldgesetzes der Gravitation bedarf es noch einer Verallgemeinerung des so gewonnenen Gesetzes, welche jedoch ohne Willkür aufgefunden werden kann, unter Berücksichtigung der folgenden Forderungen:
Essa lei ainda não é a lei geral do campo gravitacional, porque o campo gravitacional G estudado é de tipo especial. Para achar a lei geral do campo gravitacional é preciso ainda uma generalização da lei assim obtida, que, porém, pode ser achada sem arbitrariedade, levando em conta as seguintes exigências:
a) Die gesuchte Verallgemeinerung muß ebenfalls dem allgemeinen Relativitätspostulat genügen.
a) A generalização procurada também tem de satisfazer o postulado da relatividade geral.
b) Ist Materie in dem betrachteten Gebiete vorhanden, so ist für deren felderregende Wirkung allein deren träge Masse, also gemäß § 15 allein deren Energie maßgebend.
b) Se há matéria na região considerada, o que decide da sua ação produtora de campo é só a sua massa inercial, isto é, segundo o § 15, só a sua energia.
c) Gravitationsfeld und Materie zusammen müssen dem Gesetz von der Erhaltung der Energie (und des Impulses) genügen.
c) O campo gravitacional e a matéria, juntos, têm de satisfazer a lei da conservação da energia (e do momento).
Endlich erlaubt uns das allgemeine Relativitätsprinzip, den Einfluß des Gravitationsfeldes auf den Ablauf aller derjenigen Vorgänge zu ermitteln, die für den Fall des Fehlens eines Gravitationsfeldes nach bekannten Gesetzen ablaufen, d. h. in den Rahmen der speziellen Relativitätstheorie bereits eingefügt sind. Man verfährt dabei im Prinzip nach der Methode, die vorhin für Maßstäbe, Uhren und frei bewegliche Massenpunkte auseinandergesetzt worden ist.
Por fim, o princípio da relatividade geral nos permite determinar a influência do campo gravitacional sobre o curso de todos os processos que, quando não há campo gravitacional, seguem leis conhecidas, isto é, que já estão incluídos no quadro da teoria da relatividade especial. Procede-se para isso, em princípio, segundo o método exposto há pouco para réguas, relógios e pontos materiais que se movem livremente.
Die so aus dem allgemeinen Relativitätspostulat abgeleitete Gravitationstheorie zeichnet sich nicht nur durch ihre Schönheit aus, sie beseitigt nicht nur den in § 21 beleuchteten Mangel, welcher der klassischen Mechanik anhaftet, sie interpretiert nicht nur das Erfahrungsgesetz von der Gleichheit der trägen und schweren Masse, sondern sie hat auch schon zwei wesensverschiedene Beobachtungsergebnisse der Astronomie erklärt, denen gegenüber die klassische Mechanik versagt. Das zweite dieser Ergebnisse, nämlich die Krümmung der Lichtstrahlen durch das Gravitationsfeld der Sonne, haben wir schon erwähnt; das erste betrifft die Bahn des Planeten Merkur.
A teoria da gravitação assim deduzida do postulado da relatividade geral não só se distingue pela sua beleza, não só elimina a falha da mecânica clássica examinada no § 21, não só interpreta a lei da experiência da igualdade entre a massa inercial e a massa gravitacional, mas já explicou também dois resultados de observação da astronomia, de natureza essencialmente diferente, diante dos quais a mecânica clássica falha. O segundo desses resultados, a curvatura dos raios de luz pelo campo gravitacional do Sol, já mencionamos; o primeiro diz respeito à órbita do planeta Mercúrio.
Spezialisiert man nämlich die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie auf den Fall, daß die Gravitationsfelder als schwach anzusehen sind, und daß alle Massen sich mit Geschwindigkeiten gegen das Koordinatensystem bewegen, welche gegen die Lichtgeschwindigkeit klein sind, so erhält man zunächst die Newtonsche Theorie als erste Näherung; letztere ergibt sich also hier ohne besondere Annahme, während Newton die dem Quadrat der Distanz aufeinander wirkender Massenpunkte indirekt proportionale Anziehungskraft als Hypothese einführen mußte. Vergrößert man die Genauigkeit der Rechnung, so treten Abweichungen von der Newtonschen Theorie auf, die sich allerdings wegen ihrer Kleinheit fast alle noch der Beobachtung entziehen müssen.
Com efeito, se se especializam as equações da teoria da relatividade geral para o caso em que os campos gravitacionais podem ser considerados fracos e em que todas as massas se movem em relação ao sistema de coordenadas com velocidades pequenas em comparação com a velocidade da luz, obtém-se primeiro a teoria de Newton como primeira aproximação; esta resulta aqui, portanto, sem nenhuma suposição especial, ao passo que Newton teve de introduzir como hipótese a força de atração inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os pontos materiais que atuam um sobre o outro. Aumentando-se a exatidão do cálculo, aparecem desvios em relação à teoria de Newton que, por serem pequenos, quase todos ainda têm de escapar à observação.
Eine dieser Abweichungen müssen wir hier speziell ins Auge fassen. Nach der Newtonschen Theorie bewegt sich ein Planet um die Sonne in einer Ellipse, welche gegenüber den Fixsternen ihre Lage ewig beibehalten würde, wenn von der Einwirkung der anderen Planeten auf den betrachteten Planeten und von der Eigenbewegung der Fixsterne abgesehen werden könnte. Korrigiert man daher die beobachtete Bewegung der Planeten auf diese beiden Einflüsse, so soll als Bahn des Planeten eine gegen die Fixsterne feste Ellipse resultieren, wenn Newtons Theorie genau richtig ist. Bei allen Planeten, bis auf den der Sonne nächsten Planeten Merkur, hat sich diese mit eminenter Genauigkeit prüfbare Konsequenz mit der Genauigkeit bestätigt, welche die heute erreichbare Beobachtungsschärfe zu erzielen gestattet. Vom Planeten Merkur aber wissen wir seit Leverrier, daß die Ellipse seiner im obigen Sinne korrigierten Bahn gegenüber den Fixsternen nicht feststeht, sondern, wenn auch ungeheuer langsam, in der Ebene der Bahn im Sinne der Umlaufbewegung rotiert. Für diese Rotationsbewegung der Bahnellipse ergab sich ein Betrag von 43 Bogen-Sekunden pro Jahrhundert, welcher Betrag bis auf wenige Bogen-Sekunden sichergestellt ist. Die Erklärung dieser Erscheinung nach der klassischen Mechanik gelingt nur unter Zugrundelegung von ausschließlich ihrethalben ersonnenen, wenig wahrscheinlichen Hypothesen.
Um desses desvios temos de considerar aqui em particular. Segundo a teoria de Newton, um planeta se move em torno do Sol numa elipse que conservaria eternamente a sua posição em relação às estrelas fixas, se se pudesse desprezar a ação dos outros planetas sobre o planeta considerado e o movimento próprio das estrelas fixas. Por isso, se se corrige o movimento observado dos planetas quanto a essas duas influências, deve resultar como órbita do planeta uma elipse fixa em relação às estrelas fixas, se a teoria de Newton for exatamente correta. Em todos os planetas, menos o mais próximo do Sol, Mercúrio, essa consequência, que se pode verificar com precisão eminente, confirmou-se com a precisão que a acuidade de observação hoje alcançável permite atingir. Do planeta Mercúrio, porém, sabemos desde Leverrier que a elipse da sua órbita, corrigida no sentido acima, não está fixa em relação às estrelas fixas, mas gira, ainda que com enorme lentidão, no plano da órbita, no sentido do movimento de revolução. Para esse movimento de rotação da elipse da órbita achou-se um valor de 43 segundos de arco por século, valor seguro com diferença de poucos segundos de arco. A explicação desse fenômeno pela mecânica clássica só se consegue tomando por base hipóteses pouco prováveis, imaginadas exclusivamente para ele.
Nach der allgemeinen Relativitätstheorie ergibt sich, daß jede Planetenellipse um die Sonne in der oben angegebenen Weise notwendig rotieren muß, daß diese Rotation bei allen Planeten außer Merkur zu klein ist, um bei der heute erzielbaren Beobachtungsgenauigkeit festgestellt zu werden, daß sie aber bei Merkur 43 Bogen-Sekunden pro Jahrhundert betragen muß, genau wie es die Beobachtung ergeben hatte.
Segundo a teoria da relatividade geral, resulta que toda elipse de um planeta em torno do Sol tem necessariamente de girar da maneira indicada acima; que essa rotação, em todos os planetas menos Mercúrio, é pequena demais para ser constatada com a precisão de observação hoje alcançável; mas que em Mercúrio ela tem de chegar a 43 segundos de arco por século, exatamente como a observação tinha mostrado.
Außerdem hat aus der Theorie bisher nur noch eine Konsequenz gezogen werden können, die einer Prüfung durch die Beobachtung zugänglich sind, nämlich eine Spektralverschiebung des von großen Sternen zu uns gesandten Lichtes gegenüber dem auf der Erde in entsprechender Weise (d. h. durch dieselbe Molekülart) erzeugten Lichte. Ich zweifle nicht daran, daß auch diese Konsequenz der Theorie bald ihre Bestätigung finden wird.
Além disso, só se pôde tirar até agora da teoria mais uma consequência que se preste a ser verificada pela observação, a saber, um deslocamento espectral da luz enviada até nós por estrelas grandes, em comparação com a luz produzida na Terra de maneira correspondente (isto é, pela mesma espécie de moléculas). Não duvido de que também essa consequência da teoria logo encontrará a sua confirmação.