Die Spekulationen über den Bau der Welt bewegten sich aber auch noch nach einer ganz anderen Richtung. Die Entwickelung der nichteuklidischen Geometrie führte nämlich zu der Erkenntnis, daß man an der Unendlichkeit unseres Raumes zweifeln kann, ohne mit den Denkgesetzen oder mit der Erfahrung in Kollision zu geraten (Riemann, Helmholtz). Diese Dinge sind von Helmholtz und Poincaré bereits mit unübertrefflicher Durchsichtigkeit ausführlich klargestellt worden, während ich sie hier nur kurz berühren kann.

Wir denken uns zunächst ein zweidimensionales Geschehen. Flache Geschöpfe mit flachen Werkzeugen, insbesondere flachen starren Meßstäbchen seien in einer Ebene frei beweglich. Außerhalb dieser Ebene existiere für sie nichts, sondern es sei das Geschehen in ihrer Ebene, welches sie an sich selbst und ihren flachen Dingen beobachten, ein kausal geschlossenes. Insbesondere sind die Konstruktionen der ebenen euklidischen Geometrie mit den Stäbchen realisierbar, z. B. die in § 24 betrachtete Netzkonstruktion. Die Welt dieser Wesen ist im Gegensatz zu der unserigen räumlich zweidimensional, aber wie unsere Welt unendlich ausgedehnt. Unendlich viele gleiche Stäbchenquadrate haben auf ihr Platz, d. h. ihr Volumen (Fläche) ist unendlich. Es hat einen Sinn, wenn diese Wesen sagen, ihre Welt sei „eben“, nämlich den Sinn, daß sich mit ihren Stäbchen die Konstruktionen der euklidischen Geometrie der Ebene ausführen lassen, wobei das einzelne Stäbchen unabhängig von seiner Lage stets dieselbe Strecke repräsentiert.

Wir denken uns nun abermals ein zweidimensionales Geschehen, aber nicht auf einer Ebene, sondern auf einer Kugelfläche. Die flachen Geschöpfe mit ihren Maßstäben und sonstigen Gegenständen liegen genau in dieser Fläche und können dieselbe nicht verlassen; ihre ganze Wahrnehmungswelt erstrecke sich vielmehr ausschließlich auf die Kugeloberfläche. Können diese Geschöpfe die Geometrie ihrer Welt als zweidimensional euklidische Geometrie und dabei ihre Stäbchen als die Realisierung der „Strecke“ betrachten? Das können sie nicht. Denn bei dem Versuch, eine Gerade zu realisieren, werden sie eine Kurve erhalten, welche wir „Dreidimensionale“ als größten Kreis bezeichnen, also eine in sich geschlossene Linie von bestimmter endlicher Länge, die sich mit einem Stäbchen ausmessen läßt. Ebenso hat diese Welt eine endliche Fläche, die sich mit der eines Stäbchenquadrates vergleichen läßt. Der große Reiz, den die Versenkung in diese Überlegung bereitet, liegt in der Erkenntnis: Die Welt dieser Wesen ist endlich und hat doch keine Grenzen.

Aber die Kugelgeschöpfe brauchen keine Weltreise zu machen, um zu bemerken, daß sie in keiner euklidischen Welt wohnen. Auf jedem Stück ihrer Welt, das nicht allzu klein ist, können sie sich davon überzeugen. Sie ziehen von einem Punkt nach allen Richtungen „gerade Strecken“ (dreidimensional beurteilt Kreisbögen) von gleicher Länge. Die Verbindung der freien Enden dieser Strecken werden sie als „Kreis“ bezeichnen. Das Verhältnis des mit einem Stäbchen gemessenen Kreisumfanges zu den mit demselben Stäbchen gemessenen Durchmesser des Radius ist nach der euklidischen Geometrie in der Ebene gleich einer Konstanten π, welche unabhängig ist vom Durchmesser des Kreises. Unsere Geschöpfe würden für dies Verhältnis auf ihrer Kugelfläche den Wert

π · sin(r/R) / (r/R)

finden, d. h. einen Wert, der kleiner ist als π, und zwar um so erheblicher, je größer der Radius des Kreises im Vergleich zum Radius R der „Kugelwelt“ ist. Aus dieser Beziehung können die Kugelgeschöpfe den Radius R ihrer Welt bestimmen, auch wenn ihnen nur ein relativ geringer Teil ihrer Kugelwelt für ihre Messungen zur Verfügung steht. Ist aber dieser Teil allzu klein, so können sie nicht mehr konstatieren, daß sie sich auf einer Kugelwelt und nicht auf einer euklidischen Ebene befinden; ein kleines Stück einer Kugelfläche unterscheidet sich wenig von einem gleich großen Stück einer Ebene.

Wenn also die Kugelgeschöpfe auf einem Planeten wohnen, dessen Sonnensystem nur einen verschwindend kleinen Teil der Kugelwelt einnimmt, so haben sie keine Möglichkeit, darüber zu entscheiden, ob sie in einer endlichen Welt oder einer unendlichen Welt leben, weil das Stück Welt, was ihrer Erfahrung zugänglich ist, in beiden Fällen praktisch eben bzw. euklidisch ist. Die Anschauung zeigt unmittelbar, daß für unsere Kugelgeschöpfe der Kreisumfang mit dem Radius zunächst bis zum „Weltumfang“ wächst, um dann bei noch weiter wachsendem Radius allmählich wieder bis zu null abzunehmen. Die Kreisfläche wächst dabei immer mehr, bis sie schließlich gleich wird der Gesamtfläche der ganzen Kugelwelt.

Vielleicht wird sich der Leser wundern, daß wir unsere Geschöpfe gerade auf eine Kugel und nicht auf eine andere geschlossene Fläche gesetzt haben. Aber dies hat seine Berechtigung, weil die Kugel gegenüber allen anderen geschlossenen Flächen durch die Eigenschaft ausgezeichnet ist, daß all ihre Punkte gleichwertig sind. Das Verhältnis des Umfanges u eines Kreises zu seinem Radius r ist zwar von r abhängig, aber bei gegebenem r für alle Punkte der Kugelwelt das gleiche; die Kugelwelt ist eine „Fläche konstanter Krümmung“.

Es gibt zu dieser zweidimensionalen Kugelwelt ein dreidimensionales Analogon, den dreidimensionalen sphärischen Raum, welcher von Riemann entdeckt worden ist. Seine Punkte sind ebenfalls alle gleichwertig. Er besitzt ein endliches Volumen, welches durch seinen „Radius“ R bestimmt ist (2π²R³). Kann man sich einen sphärischen Raum vorstellen? Sich einen Raum vorstellen, heißt nichts anderes, als sich einen Inbegriff „räumlicher“ Erfahrungen vorstellen, d. h. von Erfahrungen, die man beim Bewegen „starrer“ Körper haben kann. In diesem Sinne ist ein sphärischer Raum vorstellbar.

Von einem Punkte aus ziehen wir Gerade (spannen wir Schnüre) nach allen Richtungen und tragen auf jeder derselben die Strecke r mit dem Maßstabe auf. Alle freien Endpunkte dieser Strecken liegen auf einer Kugelfläche. Die Fläche dieser (F) können wir mit einem Maßstabquadrat besonders ausmessen. Ist die Welt euklidisch, so ist F = πr²; ist die Welt sphärisch, so ist F stets kleiner als πr². F wächst mit wachsendem r von null bis zu einem durch den „Weltradius“ bestimmten Maximum, um bei weiter wachsendem Kugelradius r allmählich wieder bis zu null abzunehmen. Die vom Ausgangspunkt ausgehenden radialen Geraden entfernen sich zunächst immer weiter voneinander, nähern sich später wieder, um schließlich im „Gegenpunkte“ des Ausgangspunktes wieder zusammenzulaufen; sie haben dann den ganzen sphärischen Raum durchmessen. Man überzeugt sich leicht, daß der dreidimensionale sphärische Raum dem zweidimensionalen (Kugelfläche) völlig analog ist. Er ist endlich (d. h. von endlichem Volumen), ohne Grenzen zu haben.

Es sei bemerkt, daß es noch eine Abart des sphärischen Raumes gibt, den „elliptischen Raum“. Er kann als ein sphärischer Raum aufgefaßt werden, in welchem die „Gegenpunkte“ identisch (nicht unterscheidbar) sind. Eine elliptische Welt kann also gewissermaßen als eine zentrisch symmetrische, sphärische Welt angesehen werden.

Aus dem Gesagten ergibt sich, daß geschlossene Räume ohne Grenzen denkbar sind. Unter diesen zeichnen sich der sphärische (bzw. der elliptische) Raum durch Einfachheit aus, indem alle seine Punkte gleichwertig sind. Nach dem Gesagten erhebt sich für die Astronomen und Physiker die höchst interessante Frage, ob die Welt, in der wir leben, unendlich oder nach Art der sphärischen Welt endlich ist. Unsere Erfahrung reicht zur Beantwortung dieser Frage nicht im entferntesten aus. Die allgemeine Relativitätstheorie aber erlaubt, sie mit ziemlicher Sicherheit zu beantworten; dabei löst sich auch die im § 30 dargelegte Schwierigkeit.